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  • 初等数论初步——同余的概念及性质

    一、概念

    一般地,设n为正整数,a、b为整数,如果a和b被n除后余数相同,那么称a和b模n同余,记作a≡b(mod n)。如果a和b被n除后余数不同,那么称a和b模n不同余。

    二、同余与整除的关系

                

    设a、b被n除后商分别为q、q',余数分别为r、r',则

        a = nq + r         b = nq' + r'  其中0 <= r < n,0 <= r' < n.

    若a ≡ b (mod n),则r = r',(a - b) = n(q - q'),所以n | a - b.

    反过来,n | a - b = n(q - q') + r - r',则n | r - r',因为 -n < r - r' < n,所以只能是r = r‘,所以a和b模n同余.

    三、性质

    从同余的概念和一些简单的探究,同余式a ≡ b(mod n)与等式a = b又许多类似的性质

    1、若a ≡ b(mod n),c ≡ d(mod n),则

     (1)a + c ≡ b + d(mod n)

     (2) ac ≡ bd(mod n)

     (3) ka ≡ kb(mod n),k为任意整数

     (4) a^m ≡ b^m(mod n),m为正整数

    2、若ab ≡ ac(mod n),(a,n) = 1,则b ≡ c(mod n)

    (1)证明性质1(1):

    因为a ≡ b(mod n),所以n | a - b.

    因为c ≡ d(mod n),所以n | c - d.

    所以n | a - b + c - d = (a + c) - (b + d),a+ c ≡ b + d(mod n)

    (2) 证明性质2:

    因为(a,n) = 1,所以存在一对整数k、l,是的ak + nl = 1.

    因为n | nl = 1 - ak,所以ak ≡ 1(mod n).

    因为ab ≡ ac(mod n),kab  ≡ kac (mod n),且已有ak ≡ 1(mod n),所以b ≡ c(mod n).

     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/lfri/p/9352100.html
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