初等数论初步——同余的概念及性质

一、概念

一般地，设n为正整数，a、b为整数，如果a和b被n除后余数相同，那么称a和b模n同余，记作a≡b(mod n）。如果a和b被n除后余数不同，那么称a和b模n不同余。

二、同余与整除的关系

　　　　　　　　　　　　

设a、b被n除后商分别为q、q',余数分别为r、r'，则

　　　　a = nq + r         b = nq' + r'  其中0 <= r < n,0 <= r' < n.

若a ≡ b (mod n),则r = r',(a - b) = n(q - q'),所以n | a - b.

反过来，n | a - b = n(q - q') + r - r',则n | r - r',因为 -n < r - r' < n,所以只能是r = r‘，所以a和b模n同余.

三、性质

从同余的概念和一些简单的探究，同余式a ≡ b(mod n)与等式a = b又许多类似的性质

1、若a ≡ b(mod n),c ≡ d(mod n),则

　(1）a + c ≡ b + d(mod n)

　(2) ac ≡ bd(mod n)

　(3) ka ≡ kb(mod n),k为任意整数

　(4) a^m ≡ b^m(mod n)，m为正整数

2、若ab ≡ ac(mod n),(a,n) = 1,则b ≡ c(mod n)

(1)证明性质1(1):

因为a ≡ b(mod n)，所以n | a - b.

因为c ≡ d(mod n)，所以n | c - d.

所以n | a - b + c - d = (a + c) - (b + d),a+ c ≡ b + d(mod n)

(2) 证明性质2:

因为(a,n) = 1,所以存在一对整数k、l,是的ak + nl = 1.

因为n | nl = 1 - ak,所以ak ≡ 1(mod n).

因为ab ≡ ac(mod n),kab  ≡ kac (mod n),且已有ak ≡ 1(mod n),所以b ≡ c(mod n).