数学建模2之迪杰特斯拉算法（上）

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这篇文章很好的解释了算的原理和过程，转自于简书，链接已经标注，传播一下，希望跟多的人能力理解。   

迪杰斯特拉(Dijkstra)算法是典型最短路径算法，用于计算一个节点到其他节点的最短路径。
它的主要特点是以起始点为中心向外层层扩展(广度优先搜索思想)，直到扩展到终点为止。

Dijkstra算法可以计算任意节点到其他节点的最短路径

 

 

算法思路

1. 指定一个节点，例如我们要计算 'A' 到其他节点的最短路径
2. 引入两个集合（S、U），S集合包含已求出的最短路径的点（以及相应的最短长度），U集合包含未求出最短路径的点（以及A到该点的路径，注意 如上图所示，A->C由于没有直接相连 初始时为∞）
3. 初始化两个集合，S集合初始时 只有当前要计算的节点，A->A = 0，
   U集合初始时为 A->B = 4, A->C = ∞, A->D = 2, A->E = ∞，敲黑板！！！接下来要进行核心两步骤了
4. 从U集合中找出路径最短的点，加入S集合，例如 A->D = 2
5. 更新U集合路径，if ( 'D 到 B,C,E 的距离' + 'AD 距离' < 'A 到 B,C,E 的距离' ) 则更新U
6. 循环执行 4、5 两步骤，直至遍历结束，得到A 到其他节点的最短路径

算法图解

1.选定A节点并初始化，如上述步骤3所示

 

 

2.执行上述 4、5两步骤，找出U集合中路径最短的节点D 加入S集合，并根据条件 if ( 'D 到 B,C,E 的距离' + 'AD 距离' < 'A 到 B,C,E 的距离' ) 来更新U集合

 

 

3.这时候 A->B, A->C 都为3，没关系。其实这时候他俩都是最短距离，如果从算法逻辑来讲的话，会先取到B点。而这个时候 if 条件变成了 if ( 'B 到 C,E 的距离' + 'AB 距离' < 'A 到 C,E 的距离' ) ，如图所示这时候A->B距离 其实为 A->D->B

 

 

4. 思路就是这样，往后就是大同小异了

 

 

5. 算法结束

 

 

使用JAVA实现。

public class Dijkstra {
    public static final int M = 10000; // 代表正无穷
    
    public static void main(String[] args) {
        // 二维数组每一行分别是 A、B、C、D、E 各点到其余点的距离, 
        // A -> A 距离为0, 常量M 为正无穷
        int[][] weight1 = {
                {0,4,M,2,M}, 
                {4,0,4,1,M}, 
                {M,4,0,1,3}, 
                {2,1,1,0,7},   
                {M,M,3,7,0} 
            };

        int start = 0;
        
        int[] shortPath = dijkstra(weight1, start);

        for (int i = 0; i < shortPath.length; i++)
            System.out.println("从" + start + "出发到" + i + "的最短距离为：" + shortPath[i]);
    }

    public static int[] dijkstra(int[][] weight, int start) {
        // 接受一个有向图的权重矩阵，和一个起点编号start（从0编号，顶点存在数组中）
        // 返回一个int[] 数组，表示从start到它的最短路径长度
        int n = weight.length; // 顶点个数
        int[] shortPath = new int[n]; // 保存start到其他各点的最短路径
        String[] path = new String[n]; // 保存start到其他各点最短路径的字符串表示
        for (int i = 0; i < n; i++)
            path[i] = new String(start + "-->" + i);
        int[] visited = new int[n]; // 标记当前该顶点的最短路径是否已经求出,1表示已求出

        // 初始化，第一个顶点已经求出
        shortPath[start] = 0;
        visited[start] = 1;

        for (int count = 1; count < n; count++) { // 要加入n-1个顶点
            int k = -1; // 选出一个距离初始顶点start最近的未标记顶点
            int dmin = Integer.MAX_VALUE;
            for (int i = 0; i < n; i++) {
                if (visited[i] == 0 && weight[start][i] < dmin) {
                    dmin = weight[start][i];
                    k = i;
                }
            }

            // 将新选出的顶点标记为已求出最短路径，且到start的最短路径就是dmin
            shortPath[k] = dmin;
            visited[k] = 1;

            // 以k为中间点，修正从start到未访问各点的距离
            for (int i = 0; i < n; i++) {
                //如果 '起始点到当前点距离' + '当前点到某点距离' < '起始点到某点距离', 则更新
                if (visited[i] == 0 && weight[start][k] + weight[k][i] < weight[start][i]) {
                    weight[start][i] = weight[start][k] + weight[k][i];
                    path[i] = path[k] + "-->" + i;
                }
            }
        }
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            
            System.out.println("从" + start + "出发到" + i + "的最短路径为：" + path[i]);
        }
        System.out.println("=====================================");
        return shortPath;
    }
    
}