扩展欧几里得算法

首先、扩展欧几里得定理：对于两个不全为0的整数a、b，必存在一组解x,y，使得ax+by==gcd(a,b);

int gcd(int a,int b)
{
    int t,d;
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;   //不明处1
return a;
    }
    d=gcd(b,a%b);
    t=x;
    x=y;
    y=t-(a/b)*y;  //不明处2
return d;
}

x y 用全局变量表示

不明处1：由扩展欧几里得定理：ax+by==gcd(a,b)---式1，而此时b==0，也就是说gcd(a,0)==a。原式变为ax+by==a --> x==1,y==0。应该够清楚了吧

不明处2：这里先说明一下我的一些规则，x,y表示第一次递归时的值，x1,y1表示第二次递归时的值。那么

gcd(a,b)==gcd(b,a%b)，同时都代入式1，有ax+by==b*x1+(a%b)*y1。将右边变形一下

b*x1+(a%b)*y1==b*x1+(a-(a/b)*b)*y1==a*y1+b*(x1-(a/b)*y1)，最终得到ax+by==a*y1+b*(x1-(a/b)*y1)

也就是说，上一深度的x等于下一深度的y1，上一深度的y等于下一深度的x1-(a/b)*y1。    需要注意，上面推导时用的除法都是整型除法

那么对于一般的不定式ax+by==c，它的解应该是什么呢。很简单，x1=x*(c/gcd(a,b)),y1=y*(c/gcd(a,b))。

扩展的欧几里得（EXTENDED-EUCLID）

 

一、假设：

     对于给定的整数a和b，它们满足方程：ax+by=d=gcd(a,b)，求出整系数x，y

 

二、推理：

    ax+by=gcd(a,b)=gcd(b,a%b)=bx+(a-(int)a/b*b)y=ay+b(x-(a-(int)a/b*y)

三、扩展的欧几里得算法：

 1 int extended_gcd(int a, int b, int &x, int &y)
 2 {
 3   int ret, tmp；
 4         if (!b) {
 5             x = 1; y = 0;  return a;
 6         }
 7         ret = extended_gcd(b, a % b, x, y);
 8         tmp = x;
 9         x = y;
10         y = tmp - a / b * y;
11        return ret;
12 }

 

四、应用：

     1、求解模线性方程：ax≡b (mod n)

        定理一：设d=gcd(a,n)，用扩展欧几里得算法解线性方程 ax'+ny'=d.如果d|b,则方程axºb(mod n)有一个解的值x0=x'(b/d)mod n

        定理二：方程axºb(mod n)有解（即存在d|b,其中d=gcd(a,n)),x0是该方程的任意一个解，则该方程对模n恰有d个不同的解，分别为

                     x(i)=x(0)+i(n/d)(i=1,2,...d-1)

        

         //用扩展欧几里得解模线性方程ax=b (mod n)

      

bool modularLinearEquation(int a,int b,int n)
     {
        int x,y,x0,i;
        int d=Extended_Euclid(a,n,x,y);     //ax=b (mod n) 等价于ax+ny=b
        if(b%d) 
            return false;
        x0=x*(b/d)%n;
        for(i=1;i<=d;i++)
           printf("%d
",(x0+i*(n/d))%n);
        return true;
     }

     2、求乘法逆元：ax≡1（mod n）

          ax≡1（mod n）等价于 ax+ny=1=gcd(a,n)，调用extended_gcd(a,n,x,y)，并当公约数ret=1(a,n互为质数,ret一定等于1)时，

          当x>0时,x即为a的乘法逆元。当x<0时,将x转换为mod n的最小正整数即可:

　　　 while(x<0)

　　　　  x+=n;

     注：Java中没有指针，不能向C/C++这样调用；而C/C++可以使用指针或引用传出形参x，这个特性，使C/C++函数能返回多个值，而

　　　  Java方法最多只能返回一个值。那么在Java版本的实现中，可以将这里的x定义为一个类变量(static)，这样就可以获取x的值了。