矩阵翻硬币

问题描述

　　小明先把硬币摆成了一个 n 行 m 列的矩阵。

　　随后，小明对每一个硬币分别进行一次 Q 操作。

　　对第x行第y列的硬币进行 Q 操作的定义：将所有第 i*x 行，第 j*y 列的硬币进行翻转。

　　其中i和j为任意使操作可行的正整数，行号和列号都是从1开始。

　　当小明对所有硬币都进行了一次 Q 操作后，他发现了一个奇迹——所有硬币均为正面朝上。

　　小明想知道最开始有多少枚硬币是反面朝上的。于是，他向他的好朋友小M寻求帮助。

　　聪明的小M告诉小明，只需要对所有硬币再进行一次Q操作，即可恢复到最开始的状态。然而小明很懒，不愿意照做。于是小明希望你给出他更好的方法。帮他计算出答案。

输入格式

　　输入数据包含一行，两个正整数 n m，含义见题目描述。

输出格式

　　输出一个正整数，表示最开始有多少枚硬币是反面朝上的。

样例输入

2 3

样例输出

1

数据规模和约定

　　对于10%的数据，n、m <= 10^3；
　　对于20%的数据，n、m <= 10^7；
　　对于40%的数据，n、m <= 10^15；
　　对于10%的数据，n、m <= 10^1000（10的1000次方）。

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Algorithm

很容易想到如果一个硬币被翻转了奇数次，那么它的状态就会发生改变，在这里，我们翻转奇数次的硬币就是我们之前反面朝上的硬币。

如果一个硬币的坐标为(x, y)，那么它被翻转的次数为a x b 次，若想要这个硬币被翻奇数次，a和b必须都得是奇数，即x和y都有奇数个约数。

这个题的思路我是从这里get的，最开始我也想过要模拟，但是发现数据不允许，那么想来就一定是什么高深的数学知识或者巧妙的数据结构了。

但是，最后发现这就是一个高精度问题 ~_~

不过还是有点数学学问在里边，不管我之前知不知道，反正我现在是记住了：完全平方数有奇数个约数

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AC

不知道为什么第9组数据没有通过，可能我还需要优化吧......

#include<iostream>
#include<string>
#include<cstring>

using namespace std;

typedef long long ll;
// MAX 有上限  85000
const ll MAX = 1009;

// 大数乘法 
string BigMul(string x, string y)
{    // 据说可以分治优化
    string ret;
    ll lenx = x.length();
    ll leny = y.length();
    // 被乘数、乘数、积 
    ll a[MAX], b[MAX], c[MAX];
    memset(a, 0, sizeof(a));
    memset(b, 0, sizeof(b));
    memset(c, 0, sizeof(c));
    for(ll i=lenx-1;i>=0;i--)
        a[lenx-i] = x[i] - '0';
    for(ll i=leny-1;i>=0;i--)
        b[leny-i] = y[i] - '0';
    // 第 i 位乘以 第 j 位为积的第 i+j-1 位(先不考虑进位) 
    for(ll i=1;i<=lenx;i++)
        for(ll j=1;j<=leny;j++)
            c[i+j-1] += a[i]*b[j];
    // 处理进位 
    for(ll i=1;i<=lenx+leny;i++)
        c[i+1] += c[i]/10, c[i] %= 10;
    // 判断第 i+j 位是否为 0  
    if(c[lenx+leny]) ret += c[lenx+leny] + '0';
    for(ll i=lenx+leny-1;i>=1;i--)
        ret += c[i] + '0';
    
    return ret;
}

// 大数比较大小 
bool BigNumCmp(string a, string b)
{
    if(a == b) return true;
    ll la = a.length();
    ll lb = b.length();
    if(la > lb) return true;
    if(la < lb) return false;
    for(ll i=0;i<la;i++){
        if(a.at(i) == b.at(i)) continue;
        if(a.at(i) < b.at(i)) return false;
        if(a.at(i) > b.at(i)) return true;
    }
}

// 大数开方 
string BigSqrt(string x)
{
    string ret;
    ll len = x.length();
    ll ls = 0, i = 0;
    if(len&1) ls = (len>>1) + 1;
    else ls = len>>1;
    for(ll i=0;i<ls;i++) ret += "0";
    if(BigMul(ret, ret) == x) return ret;
    while(ls--)
    {    
        for(int k=0;k<10;k++){
            if(BigMul(ret, ret) == x) return ret;
            if(!BigNumCmp(BigMul(ret, ret), x)){
                ret.at(i)++;
                if(ret.at(i) == ':'){
                    ret.at(i)--;break;
                }
            }
            else{
                ret.at(i)--;break;
            }
        }
        i++;
    }
    
    return ret;
}

int main()
{
    string a, b;
    char A[2*MAX];
    // while(scanf("%s%s", &a[0], &b[0]))
    gets(A);
    {    
        int i=0;
        for(;i<strlen(A);i++){
            if(A[i] == ' '){
                i++;break;
            }
            a.push_back(A[i]);
        }
        for(;i<strlen(A);i++) b.push_back(A[i]);
        // cout<<BigMul(a, b)<<'
';
        // cout<<BigNumCmp(a, b)<<'
';
        // cout<<BigSqrt(a)<<'
';
        // cout<<BigMul(BigSqrt(a), BigSqrt(b))<<'
';
        // puts(BigMul(BigSqrt(a), BigSqrt(b)).c_str());
        cout<<BigMul(BigSqrt(a), BigSqrt(b))<<'
';
    }
    
    return 0;
}

2019-02-25

21:20:50