第四讲.矩阵的运算

矩阵乘法

注：这里不介绍矩阵的概念、矩阵的加法和数乘

(A imes B = C)，其中(C_{ij} = A_{icdot } cdot B_{cdot j})

矩阵乘法的几种理解方式：

1. 用(A)乘以(B)的每一列（可以看成(A)的列向量的线性组合），得到(C)的每一列。
2. 用(A)的每一行乘以(B)（可以看成(B)的行向量的线性组合），得到(C)的每一行。
3. 用(A)的第(i)列乘以(B)的第(i)行，将所有情况求和，得到(C)。
4. 常规方法

例题：证明(A(BC) = (AB)C)

证：设(B = (b_1, dots, b_p))，(C = (c_1, dots, c_q))，则

(A(BC) = A(Bc_1, dots, Bc_q) = (A(Bc_1), dots, A(Bc_q)))

((AB)C = ((AB)c_1, dots, (AB)c_q))

故只需证明(A(Bc_k) = (AB)c_k, k = 1, dots, q)

设

[c_k = egin{pmatrix} c_{1k} \ vdots \ c_{pk} end{pmatrix} ]

则：

[egin{aligned} A(Bc_k) &= A(c_{1k}b_1 + dots + c_{pk}b_p) \ &= c_{1k}Ab_1 + dots + c_{pk}Ab_p \ &= (Ab_1 dots Ab_p)c_k \ &= (AB)c_k end{aligned} ]

分块矩阵

[egin{pmatrix} A_1 & A_2 \ A_3 & A_4 end{pmatrix} egin{pmatrix} B_1 & B_2 \ B_3 & B_4 end{pmatrix} = egin{pmatrix} A_1B_1 + A_2B_3 & A_1B_2 + A_2B_4 \ A_3B_1 + A_4B_3 & A_3B_2 + A_4B_4 end{pmatrix} ]

注意大小要对应

矩阵的转置

性质：

1. ((A^T)^T = A)
2. ((A + B)^T = A^T + B^T)
3. 对任意数(k)，((kA)^T = kA^T)
4. ((AB)^T = B^TA^T)

对性质4进行证明：

证1：设(A = (a_{ij})_{m imes n} = (a_1, dots, a_n))，(B = (b_{ij})_{n imes p} = (b_1, dots, b_p))，则：

[(AB)^T = (Ab_1, dots, Ab_p)^T = egin{pmatrix} (Ab_1)^T \ vdots \ (Ab_p)^T end{pmatrix}, B^TA^T = egin{pmatrix} b_1^T \ vdots \ b_p^T end{pmatrix}A^T = egin{pmatrix} b_1^TA^T \ vdots \ b_p^TA^T end{pmatrix} ]

故只需证((Ab_j)^T = b_j^TA^T)，记(b_j = (b_{1j}, dots, b_{nj})^T)

[egin{aligned} (Ab_j)^T &= (b_{1j}a_1 + dots + b_{nj}a_n)^T \ &= b_{1j}a_1^T + dots + b_{nj}a_n^T \ &= (b_{1j}, dots, b_{nj}) egin{pmatrix} a_1^T \ vdots \ a_n^T end{pmatrix} = b_j^TA^T end{aligned} ]

证2：设(A)是(m imes n)矩阵，(B)为(n imes p)矩阵。有：

[((AB)^T)_{ij} = (AB)_{ji} = sum_{k = 1}^n a_{jk}b_{ki}, \ (B^TA^T)_{ij} = sum_{k = 1}^n (B^T)_{ik}(A^T)_{kj} = sum_{k = 1}^n b_{ki}a_{jk} ]

故((AB)^T = B^TA^T)

定义：若(A^T = A)，则称(A)是一个对称矩阵。若(A^T = -A)，则称(A)是一个反对称矩阵。

性质：设(R)为(m imes n)矩阵，则(R^TR)为(m imes m)对称矩阵，(R^TR)为(n imes n)对称矩阵，且其对角元均非负。

只证明(R^TR)对角元非负。不妨设(R = (r_{ij})_{m imes n}, R^T = (r'_{ij})_{n imes m})，其中(r_{ij} = r'_{ji})。(R^TR = (a_{ij})_{n imes n})。对于对角元，有：

[a_{ii} = sum_{k = 1}^m r'_{ik}r_{ki} = sum_{k = 1}^m r_{ki}^2 geq 0 ]

因此其对角元均非负！