3771: Triple

3771: Triple

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题意

　　n个斧头，每个斧头的价值都不同(开始时没注意到)，可以取1个，2个，3个斧头组成不同的价值，求每种价值有多少种组成方案（顺序不同算一种）

分析：

　　生成函数 + 容斥原理 + FFT。

　　首先对于只取一个的话，那么生成函数就是$A = (x^0 + x^{w_1} + x^{w_2} + x^{w_3}+...+x^{w_n})$（指数为价值，系数为方案数）

　　那么朴素的求解就是$ans = A+A^2+A^3$

　　但是顺序不同算一种，所以每一项都除以n!，$ans = frac{A}{1!}+frac{A^2}{2!}+frac{A^3}{3!}$。例如题面中的(a,b)和(b,a)是一样的。

　　但是这还有一个问题，每把斧头只能拿一次。所以需要减去拿了多次的情况。构造两个分别为一个斧头拿两次，一个斧头拿三次的生成函数，$B = (x^0 + x^{2w_1} + x^{2w_2}+x^{2w_3}+...+x^{2w_n})$ ，$C = (x^0 + x^{3w_1} + x^{3w_2}+x^{3w_3}+...+x^{3w_n})$。

　　考虑拿两把斧头的方案，减去一把斧头拿了两次的情况，即$frac{A^2-B}{2}$。

　　再考虑拿三把斧头的方案，首先减去一个斧头至少拿两次的方案$A∗B$，一个斧头拿两次的方案是会在被统计到三次，形如$(y,x,x),(x,y,x),(x,x,y)$，所以应该减去三次。一个斧头拿了两次的方案 包含了 拿了三次的方案，对于拿三次的方案，只会统计到一次，形如$(x,x,x)$，只减去一次就好了，所以在原式中再加回来两次，即$frac{A^3-3*A*B+2*C}{3!}$。

　　所以最后$ans=A+frac{A^2-B}{2}+frac{A^3-3*A*B+2*C}{6}$。

　　参考博客https://www.zgz233.xyz/2017/08/06/bzoj-3771-triple/

代码：

　

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<cmath> 
#include<cctype>

using namespace std;

const int N = 150000;
const double Pi = acos(-1.0);

struct Complex {
    double x, y;
    Complex() {}
    Complex(double _x,double _y) {x = _x, y = _y;}
}A[N],B[N],C[N],ans[N];

Complex operator + (Complex a, Complex b) {
    return Complex(a.x + b.x, a.y + b.y);
}
Complex operator - (Complex a, Complex b) {
    return Complex(a.x - b.x, a.y - b.y);
}
Complex operator * (Complex a, Complex b) {
    return Complex(a.x * b.x - a.y * b.y, a.x * b.y + a.y * b.x);
}

void FFT(Complex *a,int n,int ty) {
    for (int i=0,j=0; i<n; ++i) {
        if (i < j) swap(a[i],a[j]);
        for (int k=n>>1; (j^=k)<k; k>>=1);
    }
    for (int m=2; m<=n; m<<=1) {  
        Complex w1 = Complex(cos(2*Pi/m),ty*sin(2*Pi/m));
        for (int i=0; i<n; i+=m) { 
            Complex w = Complex(1,0); 
            for (int k=0; k<(m>>1); ++k) {
                Complex t = w * a[i+k+(m>>1)];
                Complex u = a[i+k];
                a[i+k] = u + t;
                a[i+k+(m>>1)] = u - t;
                w = w * w1;
            }
        }
    }
}

int main() {
    int m,mx = 0,n = 1;
    scanf("%d",&m);
    for (int x,i=1; i<=m; ++i) {
        scanf("%d",&x);
        A[x] = Complex(1,0);
        B[x * 2] = Complex(1,0);
        C[x * 3] = Complex(1,0); 
        if (x * 3 > mx) mx = x * 3;
    }
    while (n < mx) n <<= 1;
    
    FFT(A,n,1);
    FFT(B,n,1);
    FFT(C,n,1);
    
    Complex c2 = Complex(2,0),c3 = Complex(3,0),c6 = Complex(6,0);
    Complex t1 = Complex(1.0/2.0,0),t2 = Complex(1.0/6.0,0);
    
    for (int i=0; i<n; ++i) 
        ans[i] = A[i] + 
                (A[i] * A[i] - B[i]) * t1 +
                (A[i] * A[i] * A[i] - (A[i] * B[i]) * c3 + C[i] * c2) * t2;
    
    FFT(ans,n,-1);
    
    for (int i=0; i<n; ++i) {
        int Ans = (int)(ans[i].x / n + 0.5);
        if (Ans) printf("%d %d
",i,Ans);
    }
    
    return 0;
}