[CQOI2012] 组装

数轴上有 (n) 种点，总共有 (m) 个，每个点有它的坐标 (x_i) 和种类 (p_i)。求一个点，使得所有种类点中与这个点的最小距离的平方和最小。(n le 10^4, m le 10^5, x_i le 10^5)

Solution

要最小化 (sum_{i=1}^n (x-x_i)^2)，显然在选定了每个种类使用的点以后，这是一个关于 (x) 的二次函数，其最小值为

[sum_{i=1}^n x_i^2 - frac 1 n sum_{i=1}^n x_i ]

于是现在我们只需要考虑如何选择每个种类使用的点

对于同一种点按坐标从小到大排序，每次枚举把某种点替换成他的下一个

由于原式取得最小值的条件是 (x= frac 1 n sum_{i=1}^n x_i)

我们将每次替换用一个二元组 ((x_i,x_i')) 表示，那么我们只需要将所有二元组按照 (x_i+x_i') 排序，就一定不会错过最优解

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long 
const int N = 100005;

int n,m,t1,t2,t3;
vector <int> g[N];
struct pii {
    int x,y;
};
vector <pii> p;
double s,s2,ans=1e18,tans=0;

signed main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=m;i++) {
        cin>>t1>>t2;
        g[t2].push_back(t1);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        sort(g[i].begin(),g[i].end());
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        if(g[i].size()) {
            s+=g[i][0];
            s2+=g[i][0]*g[i][0];
        }
        for(int j=1;j<g[i].size();j++) {
            p.push_back({g[i][j-1],g[i][j]});
        }
    }
    sort(p.begin(),p.end(),[](pii a,pii b)->bool{return a.x+a.y<b.x+b.y;});
    ans=min(ans,s2-s*s/n);
    tans=s/n;
    for(int i=0;i<p.size();i++) {
        s-=p[i].x;
        s2-=p[i].x*p[i].x;
        s+=p[i].y;
        s2+=p[i].y*p[i].y;
        ans=min(ans,s2-s*s/n);
        if(fabs(s2-s*s/n-ans)<1e-6) tans=s/n;
    }
    printf("%.4lf",tans);
}