题意
第一问，输出1 。
第二问，求
[sum _{i=1}^nvarphi(i^2)
]
(nle 10^9) 。
分析
(varphi) 函数是非完全积性的，所以：
[sum _{i=1}^nvarphi(i^2)=sum _{i=1}^nivarphi(i)
]
这个形式是一个函数和一个完全积性函数的点积。对于一个一般性的问题，(f(n)) 没有限制，(g(n)) 是一个完全积性函数。
令
[S(n)=sum _{i=1}^nf(i)g(i)
]
那么有：
[egin{aligned}
sum _{i=1}^ng(i)S(lfloorfrac{n}{i}
floor)&=sum _{i=1}^ng(i)sum _{j=1}^{lfloorfrac{n}{i}
floor}f(j)g(j) \
&=sum _{ijle n}g(i)g(j)f(j) \
&=sum _{i=1}^ng(i)sum _{j|i}f(j)
end{aligned}
]
由于 (g) 是完全积性的，所以 (g(1)=1) ，所以有
[S(n)=sum _{i=1}^ng(i)sum _{j|i}f(j)-sum _{i=2}^ng(i)S(lfloorfrac{n}{i}
floor)
]
如果 (g) 的前缀和以及 ((f*I)) 比较好求的话，就可以用杜教筛相同的方法啦！
回到上面的题目，令 (g(i)=i,f(i)=varphi(i)) ，那么就有：
[egin{aligned}
S(n)&=sum _{i=1}^ni^2-sum _{i=2}^niS(lfloorfrac{n}{i}
floor) \
&=frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-sum _{i=2}^niS(lfloorfrac{n}{i}
floor)
end{aligned}
]