浅谈微积分以及泰勒展开

浅谈微积分以及泰勒展开

前言

这年头不会微积分干什么都不行啊

一.微积分

微积分其实就只有两种运算，一种是求导(微分)，另一种是求积分。并且其为互逆运算

导数

导数的定义

导数（Derivative），也叫导函数值。又名微商，是微积分中的重要基础概念。当函数y=f(x)的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f'(x0)或df(x0)/dx。——百度百科

• 简而言之，所谓导数所反映的就是一个函数的变化趋势，其同样是一个函数。设 \(f'(x)\) 为 \(f(x)\) 的导数，那么 \(f'(x_0)\) 就是 \(f(x)\) 的图像上过横坐标为 \(x_0\) 的点的切线的斜率。
• 讲的更容易理解一点，我们先抛开所有关于微积分的什么极限啊什么的。仅仅考虑一个问题：什么是变化率？
• 你可能会说：“变化率就是 \(\Delta y\) 和 \(\Delta x\) 的比值。”确实，就是这样。它反映的是一个变化的趋势，就是随着横坐标 \(x\) 的变化，纵坐标 \(y\) 变化了多少。如果变化率越大，那么相应的，\(y\) 的变化就会越大。
• 而导数的本质就是变化率，只不过将其放在了一个十分微小的范围内。可以近似地看成图像在某个点的变化率。
• 那么这里有一个关于导数的悖论：“一个函数的导数所反映的是该函数在每个点时的变化率。”但一个点谈何变化？它连 \(\Delta x\) 和 \(\Delta y\) 都没有。
• 所以，不要把这当做导数的定义，别把导数看成某一点瞬时的变化率，而是看成某一点附近的变化率的最佳近似。

导数的求法

基本初等函数

• 这个很简单，按照定义来就行了。

• 我们假设一个函数在 \(x_0\) 处产生了一个非常小的增量 \(dx\) ，同时导致了纵坐标的增量 \(df\) ，那么根据定义，其导数即为 \(\frac{df}{dx}\) 。

• 以 \(f(x)=x^2\) 为例：

  \[\begin{aligned} \frac{df}{dx} &=\frac{f(x_0+dx)-f(x_0)}{dx}\\ &=\frac{x_0^2+2dx\cdot x+dx^2-x_0^2}{dx}\\ &=2x+dx \end{aligned}\\ f'(x)=\lim_{dx\to 0} \frac{df}{dx}=\lim_{dx\to 0} 2x+dx=2x \]

  当 \(dx\) 无限趋近于 \(0\) 时，我们可以将其省略，那么 \(\frac{df}{dx}=2x\) 。所以函数 \(f(x)=x^2\) 的导数为 \(f'(x)=2x\) 。

• 但是，有没有更直观的方法呢？我可不想每次求导数的时候都去这样推一遍。自然是有的。用几何法也可以证明。

• 让我们假设现在有一个边长为 \(x\) 的正方形，那么它的面积就为 \(x^2\) ，该函数的函数值。此时如果该正方形的边长增加一个很小的量 \(dx\) ，那么它的面积 \(ds\) 就会增加 \(dx\cdot x+dx\cdot x+dx^2\) ，因为 \(dx\) 本身就是一个极小的值，那么其平方会变得更小，我们可以直接忽略不计。那么 \(\frac{ds}{dx}\) 的值就为 \(2x\) ，与我们用代数法算出来的答案是一样的。

• 感谢 @眼界小开 的建议，为了方便理解几何法，我觉得这里应该放一张图：

  

  3B1B：微积分的本质

• 假如我们学过微积分，这时我们就会发现，导数里面的系数 \(2\) 居然和原函数的指数 \(2\) 相同！这是巧合吗？显然不是。我们试着写出函数 \(f(x)=x^3\) 的导数 \(f'(x)=3x^2\)，发现居然和二次函数一样。那是不是……

• 好吧我坦白，这就是幂函数的共性……除此之外，这里还有一些其他基本函数的导数：

  1. \(C'=0\) （\(C\) 为任意常数）
  2. \((x^a)'=ax^{a-1}\)
  3. \((e^x)'=e^x\)
  4. \((\log_ax)'=\frac{1}{x\ \ln a}\)
  5. \((\sin x)'=\cos x\)
  6. \((\cos x)'=-\sin x\)
  7. \((\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}\)

• 我们发现这个里面有一个非常神奇的函数 \(e^x\) ，它的导数居然是它自己。怎么说呢，其实自然常数 \(e\) 就是这样定义的。我们对任意指数函数求导，以 \(2^x\) 为例：

  \[(2^x)'=\frac{2^{x+dx}-2^x}{dx}=\frac{2^x\cdot 2^{dx}-2^x}{dx}=2^x\cdot \frac{2^{dx}-1}{dx} \]

  当 \(dx\) 趋近于 \(0\) 的时候，\(\frac{2^{dx}-1}{dx}\) 会趋近于某个常数。也就是说，\(2^x\) 的导数是它自己乘上一个固定的常数。说到这里你可能就明白了，自然常数 \(e\) 的值即为 \(\lim_{dx\to 0}\frac{e^{dx}-1}{dx}=1\Rightarrow e=\lim_{dx\to 0}(dx+1)^{\frac{1}{dx}}\)

  再多说一点，其实 \(2^x\) 的导数的那个常数就是 \(\ln\:(2)\) 。为什么？看完复合函数的求导就知道了。

导数的运算法则

基本初等函数适用的范围毕竟还是太小了，生活中大多数函数都为基本初等函数通过某几种运算得到，这时求导就需要用到导数的运算法则。

• 导数的运算法则有以下三种：

  1. 和规则：\(\begin{aligned}\left(f(x)+g(x)\right)'&=f'(x)+g'(x)\\ \left(af(x)\right)'&=af'(x)\end{aligned}\)
  2. 积规则：\(\left(f(x)\cdot g(x)\right)'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\) （左乘右导，右乘左导）
  3. 链规则：\(\left(f\left(g(x)\right)\right)'=g'(x)f'\left(g(x)\right)\)

• 这三种规则都有其直观的几何理解，就比如积规则，可以想象一个分别以两个函数的函数值为边长的长方形，看其面积随着边长怎样变化。链规则则可想象三根数轴，各个因变量是如何随着各自的自变量的变化而变化。

• 类似的方法还有很多，就不再赘述了。

• 讲一讲之前的那个指数函数求导的常数证明吧：

  \[(2^x)'=\left(e^{\ln(2^x)}\right)'=\left(e^{x\ln(2)}\right)'=\ln(2)\left(e^{\ln(2)}\right)^x=\ln(2)\cdot2^x \]

高阶导数

• 我们把一个函数导数的导数称作二阶导数，其所反映的是该函数的导数的变化量，即变化量的变化量。
• 三阶导数以及更高阶的导数以此类推。
• 举个栗子：速度是路程的导数，而加速度是速度的导数，所以加速度是路程的二阶导数。
• 所以对于幂函数来说，其不断求导的过程就是不断地降幂 ，并且系数会以连乘 \(\prod\) 的形式存在。因为每一次求导，都会将系数乘以当前的指数，并且指数减一。
• \(For\:instance:f(x)=x^{10}\Rightarrow f^{(5)}(x)=\left(\prod_{i=6}^{10}i\right)x^5\)

积分

积分的定义

积分是微积分学与数学分析里的一个核心概念。通常分为定积分和不定积分两种。直观地说，对于一个给定的正实值函数，在一个实数区间上的定积分可以理解为在坐标平面上，由曲线、直线以及轴围成的曲边梯形的面积值（一种确定的实数值）。——百度百科

• 对于积分来说，就理解成面积就好了。
• 积分分为定积分和不定积分两种。定积分为一个确定的数值，而不定积分则是一个函数。
• 求不定积分和求导数互为逆运算。为什么？我们假设 \(f(x)\) 围成的面积的函数为 \(g(x)\) ，横坐标增加 \(dx\) ，那么面积的增加量 \(ds\) 可以近似地看做一个长方形，那么 \(g'(x)=\frac{ds}{dx}\)，就是当前长方形的高，恰好就是 \(f(x)\) 的函数值。

积分的求法

• 很简单，因为求不定积分和求导数是一对互逆运算，那么我们就可以根据已知的导数反推出原函数。
• 如上面的几个导数求不定积分：
  1. \(\int 0dx=C\)
  2. \(\int x^adx=\frac{1}{a+1}x^{a+1}+C\)
  3. \(\int e^xdx=e^x+C\)
  4. \(\int x^{-1}dx=\ln x+C\)

定积分的运算法则

• 如果仅仅只是靠上面那几个基本公式的话显然不能满足需要，所以就需要用到积分的运算法则。

• 如下：
  1. \(\int_a^bkf(x)dx=k\int_a^bf(x)dx\)
  2. \(\int_a^b[f(x)\pm g(x)]dx=\int_a^bf(x)dx\pm \int_a^bg(x)dx\)
  3. \(\int_a^bf(x)dx=\int_a^cf(x)dx+\int_c^bf(x)dx\)

二.泰勒级数

在数学中，泰勒级数（英语：Taylor series）用无限项连加式——级数来表示一个函数，这些相加的项由函数在某一点的导数求得。——百度百科

• 说白了，泰勒级数就是用一个多项式去模拟一个函数，至少在 \(OI\) 中是这样的，可以用于牛顿迭代的推导以及生成函数的变形。

• 我们将多项式看做一个函数，那么问题就变成了如何用一个函数去模拟另外一个函数。

• 我们先从 \(x=0\) 下手（因为简单）

• 如果两个函数图像一样的话，那么至少在 \(x=0\) 时的函数值要相等吧，所以我们让其的常数项相等。

• 如果两个函数图像一样的话，那么至少在\(x=0\) 附近的变化趋势要相等吧，所以我们让其导数相等。

• 如果两个函数图像一样的话，那么至少在\(x=0\) 附近的变化趋势的变化趋势要相等吧，所以我们让其二阶导数相等。

• ……

• 可以证明，在 \(x=0\) 时，\(g(x)\) 的 \(n\) 阶导数只与 \(x^n\) 的系数有关系，因为之前的求导时已经变成 \(0\) ，而后边的因为含有 \(x\) 而为 \(0\)

• 那么在 \(x=0\) 时我们就得到了函数 \(f(x)\) 的近似拟合函数

  \[g(x)=f(0)+\frac{f'(0)}{1!}x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\ldots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n \]

• 这个叫做麦克劳林级数。

• 等等，那泰勒去哪儿了？

• 刚刚所展现的是在 \(x=0\) 附近拟合的过程。只需稍作替换，就可以在任意地方 \(x=x_0\) 处拟合了。这就是泰勒级数：

  \[g(x)=f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\ldots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n \]

• 所以麦克劳林级数只是泰勒级数在 \(x=0\) 的特殊情况。

• 下面是我在 \(Geogebra\) 上所拟合的 \(\cos(x)\) 以及 \(e^x\) ：

  

  cos(x)

  

  e^x

• 数学真的是一门美妙的学科。

一些有趣的东西

• 为什么圆的面积公式为 \(\pi r^2\) ？我们可以尝试将圆分成许许多多的圆环，并且将其展平，近似地看做一个个长方形。然后将他们由小到大放在坐标轴上。当相差的半径足够小的时候，就可以看作是一个底为 \(r\) （半径），高为 \(2\pi r\) （周长）的三角形，故得圆的面积公式。

• 为什么三角形邻边比上斜边叫做余弦？因为余弦函数是正弦函数的导数，可以在单位圆上用几何法证明。三角函数的导数循环如下：

  \[\begin{aligned} \sin'(x)&=\cos(x)\\ \cos'(x)&=-\sin(x)\\ \left(-\sin(x)\right)'&=-\cos(x)\\ \left(-\cos(x)\right)'&=\sin(x) \end{aligned} \]

——2021年2月8日