【容斥】[ZJOI2016] 小星星

题目描述

小Y是一个心灵手巧的女孩子，她喜欢手工制作一些小饰品。她有n颗小星星，用m条彩色的细线串了起来，每条细线连着两颗小星星。有一天她发现，她的饰品被破坏了，很多细线都被拆掉了。这个饰品只剩下了n?1条细线，但通过这些细线，这颗小星星还是被串在一起，也就是这些小星星通过这些细线形成了树。小Y找到了这个饰品的设计图纸，她想知道现在饰品中的小星星对应着原来图纸上的哪些小星星。如果现在饰品中两颗小星星有细线相连，那么要求对应的小星星原来的图纸上也有细线相连。小Y想知道有多少种可能的对应方式。只有你告诉了她正确的答案，她才会把小饰品做为礼物送给你呢。

输入格式

第一行包含个2正整数n,m，表示原来的饰品中小星星的个数和细线的条数。 接下来m行，每行包含2个正整数u,v，表示原来的饰品中小星星u和v通过细线连了起来。 这里的小星星从1开始标号。保证u≠v，且每对小星星之间最多只有一条细线相连。 接下来n-1行，每行包含个2正整数u,v，表示现在的饰品中小星星u和v通过细线连了起来。 保证这些小星星通过细线可以串在一起。 n<=17,m<=n*(n-1)/2

输出格式

输出共1行，包含一个整数表示可能的对应方式的数量。 如果不存在可行的对应方式则输出0。

样例

样例输入

4 3
1 2
1 3
1 4
4 1
4 2
4 3

样例输出

6

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背景

　　这个题真的是GG

　　题目中一点暗示都没有，我还是凭常年wa题的经验才把 long long开起来的QAQ

　　真是*****。

　　考场上我WA了3次，第一次50，错因应该就是爆int。

　　第二次我以为我的 tree DP 给wa掉了，改了个限制条件。

　　第三次我终于意识到 long long 的事情了，但是我没改限制条件。

　　第四次我终于AC了。

　　QAQ

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思路分析

　　首先，这个题，特别容易看错【如果不看样例的话绝对会理解出错，比如我。

　　我一看这个题，觉得是一个求生成树的问题。

　　emmm或者说是通过生成树倒退原图的过程。

　　就在我苦思冥想怎么做的时候，我瞄了一眼样例。

　　QAQ 已经给出原图，给出生成树了。

　　？？？？？？什么鬼啊？？？？？？？？？

　　回去看题面，发现里面有一句这样的话：

她想知道现在饰品中的小星星对应着原来图纸上的哪些小星星。

　　也就是说，剪掉一些线之后，星星的编号变了。

　   ？？？？？？什么意思啊？？？？？？？？

　　这个时候，我们发现其实每个节点究竟是什么已经不重要了。

　　重要的是， 哪两个点之间有着连接的关系。

　　所以这题就变成了，给定一些连接关系，求满足下列关系的组合有多少个？

　　那么，很显然，我们可以直接计算每个点映射之后会形成的方案数。【对于每个位置可选的方案数称起来就可以了

　　考虑 dp[ i ][ j ] 在限制S下的含义为： 树中的点只能映射原图上属于集合 S 的点 ，i 点映射到 j 点 在以 i 为根的子树中的方案。

　　这个时候，手玩两组数据，就会发现，多算了。

　　在映射的时候，有可能把好多个节点都标号成了同一个。

　　那么就需要把这些方案数减去。

　　然后我就想到了容斥。【可能我本来容斥就学的不错，一下就想到了

　　假设，在限制S下的映射方案数为ans[S] ，只许映射到S且S集合中每个点都被至少映射一次的方案数为 calc [S] 。

　　那么显然的是 : ans[S] = Σ calc [T]  （其中T是S的一个子集）。

　　所以我们容斥从小到大计算出calc，最后calc[2^n-1]就是答案。

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代码实现

　　

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
#define ll long long 
#define rint register int
using namespace std;

ll n,m,num;
ll a[20][20],c[30],cnt[20];
ll f[20][20],ans[140005];//ans表示选点集合只能是S子集的方案数
vector<ll> v[20];

void dp(ll x,ll fa) {
    for(rint i=1;i<=num;i++) 
        f[x][i]=1;
    for(rint i=v[x].size()-1;i>=0;i--) {
        ll to=v[x][i];
        if(to!=fa) {
            dp(to,x);
            for(rint j=1;j<=num;j++) {
                ll nw=0;
                for(rint k=1;k<=num;k++) 
                    if(a[cnt[j]][cnt[k]]) 
                        nw+=f[to][k];
                f[x][j]*=nw;
            }
        }
    }
    return;
}

int main()
{
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    for(rint i=1;i<=m;i++) {
        ll x,y;
        scanf("%lld%lld",&x,&y);
        a[x][y]=1;
        a[y][x]=1;
    }
    for(rint i=1;i<n;i++) {
        ll x,y;
        scanf("%lld%lld",&x,&y);
        v[x].push_back(y);
        v[y].push_back(x);
    }
    c[0]=1;
    for(rint i=1;i<=20;i++) 
        c[i]=c[i-1]<<1;
    for(rint i=1;i<c[n];i++) {
        num=0;
        memset(f,0,sizeof f);
        for(rint j=1;j<=n;j++)
            if(i&c[j-1]) 
                cnt[++num]=j;
        dp(1,1);
        for(rint j=1;j<=num;j++)
            ans[i]+=f[1][j];
    }
    for(rint i=1;i<c[n];i++) 
        for(rint j=(i-1)&i;j;j=(j-1)&i)
            ans[i]-=ans[j];
    cout<<ans[c[n]-1]<<endl;
    return 0;
}

生气了，所以全部Longlong！！！！！！