#动态规划 LeetCode 62 不同路径

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为“Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“Finish”）。

问总共有多少条不同的路径？

例如，上图是一个7 x 3 的网格。有多少可能的路径？

说明：m 和 n 的值均不超过 100。

示例 1:

输入: m = 3, n = 2
输出: 3
解释:
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向右 -> 向下
2. 向右 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向右

示例 2:

输入: m = 7, n = 3
输出: 28

思路：

• 自顶向下先用递归思考：函数可以抽象为走到终点(m-1,n-1)的全部走法。而递归为子问题，分别为(m-2, n-1)与(m-1, n-2)两点走出的方法。
• 状态转移方程:F(m-1,n-1) = F(m-2, n-1)+ F(m-1, n-2)
• 自底向上思考：F(0,0) = 1 F(1,0) = F(0,0) F（0,1） = F(0,0) F（1,1）= F（0,1）+F(1,0) ...F(m-1,n-1) = F(m-2, n-1)+ F(m-1, n-2)
• 下边界， 右边界单独处理
• 迭代即可动态规划求解。

class Solution {
    public int uniquePaths(int m, int n) {
        
        int[][] num = new int[m][n];
        num[m-1][n-1] = 1;
        
        for(int i = m-1 ; i>=0 ; i--)
            for(int j= n-1 ; j>=0 ; j--){
                if(i!=m-1){
                    if(j!= n-1)
                        num[i][j] = num[i][j+1] + num[i+1][j];
                    else
                        num[i][j] = num[i+1][j];
                }
                else{
                    if(j!= n-1)
                        num[i][j] = num[i][j+1];
                }
            }
        
        return num[0][0];
    }
}