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  • 容斥原理应用(求1~r中有多少个数与n互素)

    问题:求1~r中有多少个数与n互素。


    对于这个问题由容斥原理,我们有3种写法,其实效率差不多。分别是:dfs,队列数组,位运算。


    先说说位运算吧:

    用二进制1,0来表示第几个素因子是否被用到,如m=3,三个因子是2,3,5,则i=3时二进制是011,表示第2、3个因子被用到


    LL Solve(LL n,LL r)
    {
        vector<LL> p;
        for(LL i=2; i*i<=n; i++)
        {
            if(n%i==0)
            {
                p.push_back(i);
                while(n%i==0) n/=i;
            }
        }
        if(n>1)
            p.push_back(n);
        LL ans=0;
        for(LL msk=1; msk<(1<<p.size()); msk++)
        {
            LL multi=1,bits=0;
            for(LL i=0; i<p.size(); i++)
            {
                if(msk&(1<<i))  //判断第几个因子目前被用到
                {
                    ++bits;
                    multi*=p[i];
                }
            }
            LL cur=r/multi;
            if(bits&1) ans+=cur;
            else       ans-=cur;
        }
        return r-ans;
    }

    然后就是dfs的实现:

    void Solve(LL n)
    {
        p.clear();
        for(LL i=2; i*i<=n; i++)
        {
            if(n%i==0)
            {
                p.push_back(i);
                while(n%i==0) n/=i;
            }
        }
        if(n>1)
            p.push_back(n);
    }
    
    void dfs(LL k,LL t,LL s,LL n)
    {
        if(k==p.size())
        {
            if(t&1) ans-=n/s;
            else    ans+=n/s;
            return;
        }
        dfs(k+1,t,s,n);
        dfs(k+1,t+1,s*p[k],n);
    }
    
    //主函数内是:
    dfs(0,0,1,r);
    


    经典题目:HDU4135,HDU2841,HDU1695



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