[NOIP 2011] 聪明的质检员

聪明的质检员
描述

小 T 是一名质量监督员，最近负责检验一批矿产的质量。这批矿产共有n个矿石，从1到n逐一编号，每个矿石都有自己的重量wi以及价值vi。检验矿产的流程是：
1、给定m个区间[Li，Ri]；
2、选出一个参数W；
3、对于一个区间[Li，Ri]，计算矿石在这个区间上的检验值$Y_i$：
[Y_i=(sum_j {1}) imes(sum_j v_j) ,j in [L_i,R_i] land : w_i geqslant W]

其中 $j$ 为矿石编号

$_{i=1} ^m Y_i]$

格式

输入格式

第一行包含三个整数n，m，S，分别表示矿石的个数、区间的个数和标准值。

接下来的n行，每行2个整数，中间用空格隔开，第i+1行表示i号矿石的重量wi和价值vi 。

接下来的m行，表示区间，每行2个整数，中间用空格隔开，第i+n+1行表示区间[Li,Ri]的两个端点Li和Ri。注意：不同区间可能重合或相互重叠。

输出格式

输出只有一行，包含一个整数，表示所求的最小值。

样例1

样例输入1
5 3 15
1 5
2 5
3 5
4 5
5 5
1 5
2 4
3 3
Copy

样例输出1
10
Copy

限制

1s

提示

样例说明：当W选4的时候，三个区间上检验值分别为20、5、0，这批矿产的检验结果为25，此时与标准值S相差最小为10。

对于10%的数据，有1 ≤ n，m ≤ 10；
对于30%的数据，有1 ≤ n，m ≤ 500；
对于50%的数据，有1 ≤ n，m ≤ 5,000；
对于70%的数据，有1 ≤ n，m ≤ 10,000；
对于100%的数据，有1 ≤ n，m ≤ 200,000，0 < wi, vi ≤ 10^6，0 < S ≤ 10^12，1 ≤ Li ≤ Ri ≤ n。

首先我们注意到题目中的 $W$ 值越大, $Y$ 一定会越小. 这满足单调性, 所以可以考虑二分 $W$ 使其尽可能接近 $Y$ (考试的时候有人查答案的时候在运算时直接作了差, 然后就得套绝对值符号, 然后就只能三分最后被卡了233333)

(还记得我第一次学会二分答案的奇技淫巧还是在写CodeForces的Rating计算器的时候w)

然后就是如何在已知 $W$ 的情况下快速求出 $Y$ .

隔壁机房由于日常援疆然后无脑上树成功无故给复杂度加了个 $log$ 2333333

其实我们可以 $O(n)$ 预处理出前缀和, 然后 $O(1)$ 计算每个区间的查询. 前缀和要预处理两个, 分别是前 $i$ 个矿石中满足 $w_i geq W$ 的矿石的价值和 $sum$ 以及前 $i$ 个矿石中满足 $w_i geq W$ 的矿石个数. 然后就可以 $O(1)$ 响应每个区间查询辣w

单次计算一个 $W$ 值所对应的 $Y$ 的时间复杂度 $O(n+m)$. 总时间复杂度 $O(log(w_{max}) imes (n+m))$

参考代码

GitHub

 1 #include <set>
 2 #include <cmath>
 3 #include <cstdio>
 4 #include <cstring>
 5 #include <cstdlib>
 6 #include <iostream>
 7 #include <algorithm>
 8 
 9 const int MAXN=200010;
10 const long long INF=0x7FFFFFFFFFFFFFFFll;
11 
12 int n;
13 int m;
14 long long S;
15 int L[MAXN];
16 int R[MAXN];
17 long long maxw;
18 long long w[MAXN];
19 long long v[MAXN];
20 long long ans=INF;
21 long long sum[MAXN];
22 long long count[MAXN];
23 
24 long long Y(int);
25 void Initialize();
26 
27 int main(){
28     Initialize();
29     int l=0;
30     int r=maxw;
31     while(l<=r){
32         int mid=(l+r)/2;
33         long long tmp=Y(mid);
34         ans=std::min(ans,std::abs(tmp-S));
35         if(tmp<S)
36             r=mid-1;
37         else
38             l=mid+1;
39     }
40     printf("%lld
",ans);
41     return 0;
42 }
43 
44 long long Y(int W){
45     // fprintf(stderr, "W=%d
", W);
46     long long ret=0;
47     memset(sum,0,sizeof(sum));
48     memset(count,0,sizeof(count));
49     for(int i=1;i<=n;i++){
50         sum[i]=sum[i-1];
51         count[i]=count[i-1];
52         if(w[i]>=W){
53             sum[i]+=v[i];
54             count[i]++;
55         }
56         // fprintf(stderr, "sum[%d]=%lld ,cnt=%lld
", i,sum[i],count[i]);
57     }
58     for(int i=0;i<m;i++){
59         ret+=(sum[R[i]]-sum[L[i]-1])*(count[R[i]]-count[L[i]-1]);
60     }
61     // fprintf(stderr, "ret=%lld
", ret);
62     return ret;
63 }
64 
65 void Initialize(){
66     freopen("qc.in","r",stdin);
67     freopen("qc.out","w",stdout);
68     scanf("%d%d%lld",&n,&m,&S);
69     for(int i=1;i<=n;i++){
70         scanf("%lld%lld",w+i,v+i);
71         maxw=std::max(maxw,w[i]);
72     }
73     for(int i=0;i<m;i++){
74         scanf("%d%d",L+i,R+i);
75     }
76 }

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