三维网格去噪算法（L0 Minimization）

　　[He et al. 2013]文章提出了一种基于L₀范数最小化的三角网格去噪算法。该思想最初是由[Xu et al. 2011]提出并应用于图像平滑，假设c为图像像素的颜色向量，▽c为颜色向量的梯度，设置目标函数为：min_c |c – c*|² + |▽c|₀，其中|▽c|₀为▽c的L₀范数，c*为原始图像的颜色向量。通过引入辅助变量δ，优化函数变为：min_c,δ |c – c*|² + β|▽c – δ|² + λ|δ|₀，其中λ用于控制最终图像的平滑程度。优化过程分两步：第一步固定c优化δ，即min_δ β|▽c – δ|² + λ|δ|₀；第二步固定δ优化c，即min_c |c – c*|² + β|▽c – δ|²。然后循环迭代这两步，每次迭代中β乘以2，使得最终▽c ≈ δ。

　　当将L₀范数最小化的思想应用于三角网格去噪时，网格顶点坐标p可以代替c，但是还需要设置一个离散微分算子来代替▽c，其满足网格平坦区域值为0，其中一个选择就是离散Laplacian算子。文章提出了一种应用于网格边的微分算子D(e)，其表达式为：

            

　　但是当有角度接近0时，微分算子的权重会变成inf，因此文章又提出了一种优化后的微分算子表达式：

 

微分算子D(e)中的符号说明

　　对于非均匀噪声网格，文章在优化过程中加入了正则化项R(e) = (p₁ – p₂ + p₃ – p₄)²，于是优化目标变为：min_p,δ |p – p*|² + α|R(p)|² + β|D(p) – δ|² + λ|δ|₀，其中p*为初始网格顶点坐标，D(p)代表与p相关的表达式，其第i项对应第i条边的微分算子，R(p)的第i项对应第i条边的正则项。同样优化过程分两步：第一步固定p优化δ，即min_δ β|D(p) – δ|² + λ|δ|₀，当，δ_i = 0，否则δ_i = D_i；第二步固定δ优化p，即min_p |p – p*|² + α|R(p)|² + β|D(p) – δ|²，相当于求解稀疏矩阵方程组。然后循环迭代上述两个步骤直到达到预定条件。

效果：

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参考文献：

[1] Lei He and Scott Schaefer, "Mesh denoising via L0 minimization," ACM Trans. Graph. 32, 4, Article 64 (July 2013), 8 pages, 2013.
[2] Li Xu, Cewu Lu, Yi Xu, and Jiaya Jia, "Image smoothing via L0 gradient minimization," In Proceedings of the 2011 SIGGRAPH Asia Conference (SA '11). ACM, New York, NY, USA, , Article 174 , 12 pages, 2011.