题目描述
给定一棵 n 个点的有根树，节点标号1∼n，1号节点为根。
给定常数 k。
给定Q个询问，每次询问给定 x,y。
求：
$sum_{i leq x}dep[lca(i,y)]^{k}$
lca(x,y) 表示节点x与节点y在有根树上的最近公共祖先。
depth(x) 表示节点x的深度，根节点的深度为 1。
由于答案可能很大，你只需要输出答案模998244353 的结果。
题解
先考虑k为1，对于每一对点，只要求lca的深度，而不是lca是谁，那么就有一种奇技淫巧：对于点对(x,y)，将x到根的路径上的点打上标记，查询y到根的路径上有多少标记，最终结果就是dep(lca)；
题目要求的式子中i是从（1，x），根据上面的性质，我们可以想到把1∼x的点都这样打上标记，再来查询。
对于每种询问，我们进行的是相同操作，只是查询时间不同，所以考虑将询问离线，从1∼n依次打标记，每次打完标记，如果当前有查询就查询。
对于打标记和查询可以看出就是链修改和链查询，所以树链剖分即可。
那么k≠1呢，考虑还是上面的思路，要怎么给x到根路径上的点打标记，才能使得y查询出来是dep(lca)k;
很容易想到给深度为i的点标记为ik-(i-1)k，这样查询出来中间一些东西抵消掉最终就是dep(lca)k;
性质问题就变成了，链修改是每个点要改的权值不同，怎么改？
可以看到虽然要改的权值不同，但每次一个点要改的权值是固定的，所以对于每个点记录他的基础权值base，每次修改下传修改次数val，对于这个点权值的影响就是val*base;
这样就能很好地解决这个问题，要注意的是，建树时base也要update。
//思路：对于本题，求dep[lca(x,y)],在根到x的路径上的点的权值++,最后查询y到根的权值和就是ans //至于dep^k，就在深度为d的点权值+d^k-(d-1)^k #include<bits/stdc++.h> using namespace std; #define ll long long const int maxn=50005; const int mod=998244353; int n,m,k; int fa[maxn],son[maxn],size[maxn],dep[maxn]; int num,id[maxn],top[maxn],a[maxn]; int root,ls[maxn<<1],rs[maxn<<1]; ll sum[maxn<<1],base[maxn<<1],tag[maxn<<1]; ll get_it[maxn];//ans vector<int> e[maxn]; vector<pair<int,int> >q[maxn]; template<class T>void read(T &x){ x=0;char ch=getchar(); while(!isdigit(ch)) ch=getchar(); while(isdigit(ch)) {x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();} } ll fpow(ll a,ll b){ ll ans=1; while(b){ if(b&1) ans=ans*a%mod; a=a*a%mod; b>>=1; } return ans; } void dfs(int u){ size[u]=1; for(unsigned int i=0;i<e[u].size();i++){ int v=e[u][i]; dep[v]=dep[u]+1; dfs(v); size[u]+=size[v]; if(size[son[u]]<size[v]) son[u]=v; } } void dfs(int u,int tp){ id[u]=++num; a[num]=dep[u]; top[u]=tp; if(!son[u]) return ; dfs(son[u],tp); for(unsigned int i=0;i<e[u].size();i++){ int v=e[u][i]; if(v==son[u]) continue; dfs(v,v); } } void update(int rt){ base[rt]=(base[ls[rt]]+base[rs[rt]])%mod; sum[rt]=(sum[ls[rt]]+sum[rs[rt]])%mod; } void build(int &rt,int l,int r){ rt=++num; if(l==r){ base[rt]=((fpow(a[l],k)-fpow(a[l]-1,k))%mod+mod)%mod; return ; } int mid=(l+r)>>1; build(ls[rt],l,mid); build(rs[rt],mid+1,r); update(rt); } void put_tag(int rt,int val){ tag[rt]+=val; if(tag[rt]>=mod) tag[rt]-=mod; sum[rt]=(sum[rt]+base[rt]*val%mod)%mod; } void push_down(int rt){ put_tag(ls[rt],tag[rt]); put_tag(rs[rt],tag[rt]); tag[rt]=0; } void modify(int rt,int l,int r,int a_l,int a_r){ if(a_l<=l&&r<=a_r){ put_tag(rt,1); return ; } if(tag[rt]) push_down(rt); int mid=(l+r)>>1; if(a_l<=mid) modify(ls[rt],l,mid,a_l,a_r); if(mid<a_r) modify(rs[rt],mid+1,r,a_l,a_r); update(rt); } void modify(int x,int y){ while(top[x]!=top[y]){ modify(1,1,n,id[top[y]],id[y]); y=fa[top[y]]; } modify(1,1,n,id[x],id[y]); } ll query(int rt,int l,int r,int a_l,int a_r){ if(a_l<=l&&r<=a_r) return sum[rt]; if(tag[rt]) push_down(rt); int mid=(l+r)>>1; ll ret=0; if(a_l<=mid) ret+=query(ls[rt],l,mid,a_l,a_r); if(mid<a_r) ret+=query(rs[rt],mid+1,r,a_l,a_r); return ret%mod; } ll query(int x,int y){ ll ret=0; while(top[x]!=top[y]){ ret=(ret+query(1,1,n,id[top[y]],id[y]))%mod; //printf("%d %d ",id[top[y]],id[y]); y=fa[top[y]]; } ret=(ret+query(1,1,n,id[x],id[y]))%mod; //printf("%d %d ",id[x],id[y]); return ret; } int main(){ read(n);read(m);read(k); for(int i=2;i<=n;i++){ read(fa[i]); e[fa[i]].push_back(i); } for(int i=1;i<=m;i++){ int x,y; read(x);read(y); q[x].push_back(make_pair(y,i)); } dep[1]=1; dfs(1); dfs(1,1); num=0; build(root,1,n); for(int i=1;i<=n;i++){ modify(1,i); for(unsigned int j=0;j<q[i].size();j++) get_it[q[i][j].second]=query(1,q[i][j].first); } for(int i=1;i<=m;i++) printf("%lld ",get_it[i]); }