(【定理内容】若f(x)在[a,b]连续，f(a)f(b)<0,则存在一点xi，有f(xi)=0)
(中科大的证明，经今日头条“数学数学救火队长马丁”老师提示，用的是数列极限的保不等式性，我这里加了一个反证法的证明。)
(设f(x)在[a,b]上连续，且f(a)f(b)<0,则一定存在xiin[a,b],有f(xi)=0)
(证明)
(不妨设f(a)<0,f(b)>0)
(若f(frac{a+b}{2})=0,则frac{a+b}{2}为所求的点)
(否则，该点函数值必与f在两端点a,b的取值异号，记这个异号的区间为[a1,b1])
(保证右侧端点f取值为正)
(对[a1,b1]重复上述步骤，得到闭区间序列)
满足如下条件
([a,b]supset[a_{1},b_{1}]supset[a_{2},b_{2}]...[a_{n},b_{n}])
(0<b_{n}-a_{n}=frac{b-a}{2^n})
(lim_{n oinfty}b_{n}-a_{n}=0)
(f(a_{n})<0<f(b_{n})quadquad(1))
(由闭区间套定理可知，存在唯一一点xiin[a_{n},b_{n}],n=1,2,...)
(且lim_{n oinfty}a_{n}=lim_{n oinfty}b_{n}=xi)
(因f为连续函数，故lim_{n oinfty}f(a_{n})=lim_{n oinfty}f(b_{n})=f(xi))
(根据数列极限的保不等式性，由f(a_{n})<0,f(b_{n})>0，可知:)
(lim_{n oinfty}f(a_{n})leqslant0)
(lim_{n oinfty}f(b_{n})geqslant0)
(即f(xi)leqslant 0,且f(xi)geqslant 0)
(可知,f(xi)=0)
(证毕。)
(下面用反证法证明f(xi)=0)
(反证法，假设f(xi)
eq 0，不妨设f(xi)<0)
(由lim_{n oinfty}f(b_{n})=f(xi),可知)
(forall epsilon>0,exists N,当n>N时，有f(b_{n})-f(xi)<epsilon)
(取epsilon=|frac{f(xi))}{2}|)
(因为f(xi)<0,故epsilon=-frac{f(xi))}{2})
(故存在N,当n>N时，有|f(b_{n})-f(xi)|<epsilon)
(即quad f(xi)-epsilon<f(b_{n})<f(xi)+epsilon)
(即quad frac{3f(xi)}{2}<f(b_{n})<frac{f(xi)}{2}<0)
(而根据上面的（1）式，forall n ,均有f(b_{n})>0,矛盾)
(同理，如果f(xi)>0,将导致f(a_{n})>0)，矛盾)
(故，f(xi)只能为0)
(证毕)
（即使用了数列极限的保号性，中科大的证明里没有）