本文是《Neural networks and deep learning》概览 中第三章的一部分，讲machine learning算法中用得很多的交叉熵代价函数。
1.从方差代价函数说起
代价函数经常用方差代价函数（即采用均方误差MSE），比如对于一个神经元（单输入单输出，sigmoid函数）,定义其代价函数为：
其中y是我们期望的输出，a为神经元的实际输出【 a=σ(z), where z=wx+b 】。
在训练神经网络过程中，我们通过梯度下降算法来更新w和b，因此需要计算代价函数对w和b的导数：
然后更新w、b：
w <—— w - η* ∂C/∂w = w - η * a *σ′(z)
b <—— b - η* ∂C/∂b = b - η * a * σ′(z)
因为sigmoid函数的性质，导致σ′(z)在z取大部分值时会很小（如下图标出来的两端，几*于*坦），这样会使得w和b更新非常慢（因为η * a * σ′(z)这一项接*于0）。
2.交叉熵代价函数（cross-entropy cost function）
为了克服这个缺点，引入了交叉熵代价函数（下面的公式对应一个神经元，多输入单输出）：
其中y为期望的输出，a为神经元实际输出【a=σ(z), where z=∑Wj*Xj+b】
与方差代价函数一样，交叉熵代价函数同样有两个性质：
- 非负性。（所以我们的目标就是最小化代价函数）
- 当真实输出a与期望输出y接*的时候，代价函数接*于0.(比如y=0，a～0；y=1，a~1时，代价函数都接*0)。
另外，它可以克服方差代价函数更新权重过慢的问题。我们同样看看它的导数：
可以看到，导数中没有σ′(z)这一项，权重的更新是受σ(z)−y这一项影响，即受误差的影响。所以当误差大的时候，权重更新就快，当误差小的时候，权重的更新就慢。这是一个很好的性质。
3.总结
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当我们用sigmoid函数作为神经元的激活函数时，最好使用交叉熵代价函数来替代方差代价函数，以避免训练过程太慢。
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不过，你也许会问，为什么是交叉熵函数？导数中不带σ′(z)项的函数有无数种，怎么就想到用交叉熵函数？这自然是有来头的，更深入的讨论就不写了，少年请自行了解。
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另外，交叉熵函数的形式是−[ylna+(1−y)ln(1−a)]而不是 −[alny+(1−a)ln(1−y)]，为什么？因为当期望输出的y=0时，lny没有意义；当期望y=1时，ln(1-y)没有意义。而因为a是sigmoid函数的实际输出，永远不会等于0或1，只会无限接*于0或者1，因此不存在这个问题。
4.还要说说：log-likelihood cost
对数似然函数也常用来作为softmax回归的代价函数，在上面的讨论中，我们最后一层（也就是输出）是通过sigmoid函数，因此采用了交叉熵代价函数。而深度学习中更普遍的做法是将softmax作为最后一层，此时常用的是代价函数是log-likelihood cost。
In fact, it’s useful to think of a softmax output layer with log-likelihood cost as being quite similar to a sigmoid output layer with cross-entropy cost。
其实这两者是一致的，logistic回归用的就是sigmoid函数，softmax回归是logistic回归的多类别推广。log-likelihood代价函数在二类别时就可以化简为交叉熵代价函数的形式。具体可以参考UFLDL教程
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