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  • 复变函数自身运动的三个节点

    复变函数自身运动的三个节点

    第一个节点:Euler 公式

    $$\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}=\cos \theta+\mathrm{i}\sin \theta .$$

    第一次在复数域的视角下,把三角函数,双曲函数和指数函数统一起来.

     

    第二个节点:Cauchy-Riemann 条件

     

    $$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\quad \frac{\partial u}{\partial y }=-\frac{\partial v}{\partial x}.$$

     

    定义出最重要的解析函数,其函数与方向无关,且

    $$\oint_{C}f(x)\mathrm{d}z=0.$$

    第三个节点:幂函数闭路积分

     

    $$\oint_{C}\frac{\mathrm{d}z}{(z-z_0)^{n+1}}=\left\{\begin{array}{cl}2\pi\mathrm{i},&n=0, \\ 0,&n\neq0, \end{array}\right.$$

     $ z_0\in D.$

     全部复幂级数只有负一次幂才能得到非零结果,正是这一节点导致最重要的留数理论.

     

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