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斯特林数
- 斯特林数的内容主要参考自zzd大佬的博客
- 在此基础上加上了一些自己的理解和补充内容。
- 还没写完
第一类斯特林数
定义
(S_1(n, m))表示(n)个点，组成(m)个圆排列的方案数,记做(egin{bmatrix}n\mend{bmatrix}),递推公式为：
[egin{bmatrix}n\kend{bmatrix} = (n - 1)egin{bmatrix}n - 1\kend{bmatrix} + egin{bmatrix}n - 1\k - 1end{bmatrix}
]
理解：单独考虑新加入的第(n)个点。
- 第(n)个点可以独立构成一个新的圆，因此只需要再加上前(n - 1)个点构成(k - 1)个圆的方案数(egin{bmatrix}n - 1\k - 1end{bmatrix}).
- 第(n)个点可以插入原来有的任意一个圆中(不单独成圆)的任意一个点的左边，故有((n - 1)egin{bmatrix}n - 1\kend{bmatrix})种方案
与阶乘的关系
[n! = sum_{i = 0}^{n}egin{bmatrix}n\iend{bmatrix} ]
证明：考虑其组合意义，一个排列对应一个置换，而一个置换会把(n)元素分成若干个置换环，其中每一种方案都对应一个置换。而我们把(n)个点分成若干个圆排列，就等价于把(n)个元素分成若干个置换环，因此我们枚举了把(n)个点分成若干个圆排列的方案数，就相当于枚举了置换的方案数。因此上式成立。
与上升/下降次幂的关系
下降次幂
[x^{underline{n}} = sum_{i = 0}^n egin{bmatrix}n\iend{bmatrix}(-1)^{n - i}x^i ]
(注意这个地方枚举从0开始和从1开始是等价的，因为(egin{bmatrix}n\0end{bmatrix} = 0))
可以用数学归纳法证明:
[x^{underline{n + 1}} = (x - n)x^{underline{n}}
]
[= x cdot x^{underline{n}} - nx^{underline{n}}
]
[= left( sum_{i = 0}^{n} egin{bmatrix}n\i end{bmatrix}(-1)^{n - i}x^{i + 1}
ight ) - left(nsum_{i = 0}^{n} egin{bmatrix}n\iend{bmatrix} (-1)^{n - i}x^i
ight)
]
[= left(sum_{i = 1}^{n + 1}egin{bmatrix}n\i - 1 end{bmatrix}(-1)^{n - i + 1}x^i
ight) - left(nsum_{i = 1}^{n + 1}egin{bmatrix}n\iend{bmatrix}(-1)^{n - i}x^i
ight)
]
[= sum_{i = 1}^{n + 1}left(egin{bmatrix}n\i - 1 end{bmatrix} + n egin{bmatrix}n\iend{bmatrix}
ight)(-1)^{n - i + 1}x^i
]
[= sum_{i = 1}^{n + 1}egin{bmatrix}n + 1\iend{bmatrix}(-1)^{n + 1 - i}x^i
]
####**上升次幂** $$x^{overline{n}} = sum_{i = 0}^{n}egin{bmatrix}n\kend{bmatrix}x^{k}$$ 相当于把下降次幂的式子中的-1给去掉了。 ##第一类斯特林数求法(分治FFT，倍增FFT) 最简单的当然就是直接根据递推式来求啦，但是有时候这样的复杂度不够优秀，因此我们需要一点更加优秀的求解方法。
根据第一类斯特林数和上升次幂/下降次幂的关系，我们可以知道将特定的一些下降/上升次幂展开后系数的第(k)次项的绝对值就是要求的斯特林数的第(k)项。
而上升/下降次幂可以看做一些多项式相乘(本身展开后就是多项式，而不同的上升/下降次幂可以通过合并不同的上升/下降次幂得到)
分治FFT
不会证，貌似要用生成函数？
直接背下来吧，挺好背的。
[prod_{i = 0}^{n - 1}(x + i)
]
乘出来的多项式的第(k)项就是(egin{bmatrix}n\kend{bmatrix})
倍增FFT
因此我们考虑利用这2个式子来求斯特林数。
为了方便，我们选择利用上升幂的式子：
设
[f(x) = x^{overline{n}} = sum_{i = 0}^n egin{bmatrix} n\iend{bmatrix}x^i
]
[ g(x) = (x + n)^{overline{n}} = sum_{i = 0}^{n} egin{bmatrix}n\iend{bmatrix}(x + n)^i
]
那么我们有：
[f(x)g(x) = (x + n)^{overline{2n}} = sum_{i = 0}^{2n} egin{bmatrix}2n\iend{bmatrix}(x + n)^i
]
显然可以直接上分治FFT。
但其实我们还有更加优秀的做法。
考虑在分治FFT的基础上进行优化。
思考一下为什么分治FFT是(nlog^2n)的？
首先每一层的复杂度要计算(n)个点，一共有(logn)层，一共计算(nlogn)个元素，每个元素的复杂度是(logn)的，所以总复杂度(nlog^2n)。
(logn)层这个肯定没法优化，我们考虑优化每一层需要求解的点数.
如果我们可以用同一层的前半部分快速求出后半部分，那么我们每次就只需要递归前半部分，那么我们就不用在每一层都对当前层所有的元素的计算，而只需要对一小块计算。
因此我们考虑如何用前半部分快速计算后半部分。
(此处为了书写方便，用(a_i)代替(egin{bmatrix} n\iend{bmatrix}))
[g(x) = sum_{i = 0}^na_isum_{j = 0}^iinom{i}{j}n^{i - j}x^j
]
换成枚举(x^i)
[= sum_{i = 0}^nx^i left( sum_{j = i}^ninom{j}{i}n^{j - i}a_j
ight)
]
[= sum_{i = 0}^n left( sum_{j = i}^ninom{j}{i}n^{j - i}a_j
ight)x_i
]
我们只需要求出括号内的数是多少即可。
[sum_{j = i}^ninom{j}{i}n^{j - i} a_j
]
现在我们有
[F(j - i) = inom{j}{i}n^{j - i}
]
[G(j) = a_j
]
把(F)反转一下变成：
[F(n - j + i + 1) = inom{j}{i}n^{j - i}
]
这样(j + n - j + i + 1 = n + i + 1),是一个定值。
虽然(n + i + 1 > n),但是因为数组中下标大于(n)的部分都是0，所以可以忽略。
因此我们所要求的系数就是:
[sum_{j = i}^ninom{j}{i}n^{j - i}a_j = (F*G)(n + i + 1)
]
因此我们做一遍FFT就可以得到(g)的系数了
那么这样计算的话，一共会计算多少元素呢？
[n + frac{n}{2} + frac{n}{4} + ... + frac{n}{n}
]
是(O(n))级别的！
因为对每个点进行计算的复杂度仍然是(logn)级别的，所以我们的总复杂度就可以做到(nlogn)。
更形象化的，这2个算法的区别可以这样描述：
考虑到后者其实是在用1个点，不断的乘2，最后得到整个序列。因此我们将它称之为倍增FFT。
第二类斯特林数
定义
(S_2(n, m))表示(n)个元素分成(m)个集合的方案数，记做(left{egin{array}{c}n\mend{array}
ight})
递推式为：
[left{egin{array}{c}n\mend{array}
ight} = left{egin{array}{c}n - 1\m - 1end{array}
ight} + mleft{egin{array}{c}n - 1\mend{array}
ight}
]
理解：考虑第(n)个元素放在哪里，
- 第(n)个元素可以独立构成一个新集合，因此方案数为(left{egin{array}{c}n - 1\m - 1end{array} ight}).
- 第(n)个元素可以加入之前的任意一个集合中，因此方案数为(left{ egin{array}{c}n - 1 \mend{array} ight})
重要式子
[x^n = sum_{k = 0}^n left{ egin{array}{c} n \ k end{array} ight} x^{underline{k}} ]
证明：还是用归纳法。。。
求解
一个式子：
[m!left{ egin{array}{c}n\mend{array}
ight} = sum_{k = 0}^m inom{m}{k}k^n(-1)^{m - k}
]
证明：用递推式证明.
于是令
[f(k) = inom{m}{k}k^n, quad g(m - k) = (-1)^{m - k}
]
然后用FFT算算就好了。
广义斯特林数
[left{ egin{array}{c}n\kend{array}
ight} = egin{bmatrix}-k\-nend{bmatrix}
]
扩展/总结
基本式子
[egin{bmatrix}n\kend{bmatrix} = (n - 1)egin{bmatrix}n - 1\kend{bmatrix} + egin{bmatrix}n - 1\k - 1end{bmatrix}
]
[left{egin{array}{c}n\mend{array}
ight} = left{egin{array}{c}n - 1\m - 1end{array}
ight} + mleft{egin{array}{c}n - 1\mend{array}
ight}
]
[n! = sum_{i = 0}^n egin{bmatrix}n\iend{bmatrix}
]
[left{ egin{array}{c}n\kend{array}
ight} = egin{bmatrix}-k\-nend{bmatrix}
]
特殊值
[left{egin{array}{c}n\0end{array}
ight} = egin{bmatrix}n\0end{bmatrix} = [n == 0]
]
[left{egin{array}{c}n\1end{array}
ight} = [n > 0]
]
[egin{bmatrix}n\1end{bmatrix} = (n - 1)![n > 0]
]
[left{egin{array}{c}n\2end{array}
ight} = (2^{n - 1} - 1)[n > 0]
]
[egin{bmatrix}n\2end{bmatrix} = (n - 1)!left(sum_{i = 1}^{n - 1} frac{1}{i}
ight)[n > 0]
]
[left{egin{array}{c}n\n - 1end{array}
ight} = egin{bmatrix}n\n - 1end{bmatrix} = inom{n}{2}
]
[left{egin{array}{c}n\nend{array}
ight} = egin{bmatrix}n\nend{bmatrix} = inom{n}{n} = 1
]
[left{egin{array}{c}n\kend{array}
ight} = egin{bmatrix}n\kend{bmatrix} = inom{n}{k} = 0, k > n
]
各种幂相关
[x^n = sum_{k = 0}^nleft{egin{array}{c}n\kend{array}
ight}x^{underline{k}} = sum_{k = 1}^nleft{egin{array}{c}n\kend{array}
ight}(-1)^{n - k}x^{overline{k}}
]
[x^{underline{n}} = sum_{k = 0}^{n}egin{bmatrix}n\kend{bmatrix}(-1)^{n - k}x^k
]
[x^{overline{n}} = sum_{k = 0}^negin{bmatrix}n\kend{bmatrix}x^k
]
反转公式
[sum_{k = 1}^n egin{bmatrix}n\kend{bmatrix}left{egin{array}{c}k\mend{array}
ight}(-1)^{n - k} = [n == m]
]
[sum_{k = 1}^nleft{egin{array}{c}n\kend{array}
ight} egin{bmatrix}k\mend{bmatrix}(-1)^{n - k} = [n == m]
]
其他恒等式
[left{egin{array}{c}n + 1\m + 1end{array}
ight} = sum_{k = 1}^n inom{n}{k} left{egin{array}{c}k\mend{array}
ight}
]
[egin{bmatrix} n + 1\ m + 1end{bmatrix} = sum_{k = 1}^n egin{bmatrix}n\kend{bmatrix} inom{k}{m}
]
[left{egin{array}{c}n\mend{array}
ight} = sum_{k = 1}^ninom{n}{k}left{egin{array}{c}k + 1\m + 1end{array}
ight}(-1)^{n - k}
]
[egin{bmatrix}n\mend{bmatrix} = sum_{k = 1}^n egin{bmatrix}n + 1\k + 1end{bmatrix} inom{k}{m}(-1)^{m - k}
]
[m!left{egin{array}{c}n\mend{array}
ight} = sum_{k = 1}^ninom{m}{k}k^n(-1)^{m - k}
]
[left{egin{array}{c}n + 1\m + 1end{array}
ight} = sum_{k = 0}^n left{egin{array}{c}k\mend{array}
ight}(m + 1)^{n - k}
]
[egin{bmatrix}n + 1\m + 1end{bmatrix} = sum_{k = 0}^n egin{bmatrix}k\mend{bmatrix}n^{underline{n - k}} = n!sum_{k = 0}^n frac{egin{bmatrix}k\mend{bmatrix}}{k!}
]
[left{egin{array}{c}m + n + 1\mend{array}
ight} = sum_{k = 0}^mkleft{egin{array}{c}n + k\kend{array}
ight}
]
[egin{bmatrix}m + n + 1\mend{bmatrix} = sum_{k = 0}^m(n + k)egin{bmatrix}n + k\kend{bmatrix}
]
[inom{n}{m} = sum_{k = 1}^nleft{egin{array}{c}n + 1\k + 1end{array}
ight} egin{bmatrix}k\mend{bmatrix}(-1)^{m - k}
]
[n^{underline{n - m}}[n geq m] = sum_{k = 1}^n egin{bmatrix} n + 1\k + 1end{bmatrix}left{egin{array}{c}k\mend{array}
ight}(-1)^{m - k}
]
[left{egin{array}{c}n\n - mend{array}
ight} = sum_{k = 1}^n inom{m - n}{m + k} inom{m + n}{n + k} egin{bmatrix}m + k \ kend{bmatrix}
]
[egin{bmatrix}n\n - mend{bmatrix} = sum_{k = 1}^n inom{m - n}{m + k} inom{m + n}{n + k}left{egin{array}{c}m + k\kend{array}
ight}
]
[left{egin{array}{c}n\l + mend{array}
ight} inom{l + m}{l} = sum_{k = 1}^nleft{egin{array}{c}k\lend{array}
ight} left{egin{array}{c}n - k\mend{array}
ight} inom{n}{k}
]
[egin{bmatrix}n \ l + mend{bmatrix} inom{l + m}{l} = sum_{k = 1}^n egin{bmatrix}k\lend{bmatrix} egin{bmatrix}n - k\mend{bmatrix}inom{n}{k}
]