2019-12-26 xiaoh
题意
给定一个有n个数的序列a(1<=n<=5000，且a中每个数在int范围内)，求最长严格下降子序列（我们不妨称其为LDS,Largest Descreasing Subsequence）的长度及数量。注：当两个LDS元素完全相同时，就算元素从不同的位置取出，也算作同一个答案
题解
首先，数据很小，n只有5000，很明显长度直接套LIS的板子就行。接下来要考虑如何计算数量，并避免重复计算相同的序列。接下来，我们考虑如何在DP时算出满足要求的LDS的数目。将DP方程f[i]=Max{f[j]+1},j∈[i+1,n]且a[i]>a[j]的情况分为三类：
1、f[j]+1大于f[i]，说明存在更长的序列，则f[i]=f[j]+1，而以i为开头的LDS的长度f[i]的数量tot[i]就等于tot[j];
2、f[j]+1等于f[i]，说明以i为开头的LDS后的第二个数可以有多种情况，那么就都要计入tot中，即tot[i]+=tot[j];
3、f[j]小于f[i]，此时，什么也做不了，就过去吧QAQ
这样我们就初步捋出了大致的算法。但仍然存在一个问题：即两个LDS的元素完全相同时，就算从不同的位置取出，也只能算一个。那么我们考虑对于一对i和j，若a[i]=a[j]，且f[i]=f[j]，那么很明显这两者中只需要算一个，因为数相同，长度也相同，说明两个序列一定可以重合，因此在处理完i之后j再跑一边找出符合的j，将其tot[j]设为0即可。时间复杂度O（n^2），刚好能过
Code
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline int read()
{
int ret=0,w=1;
char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9')
{
if(ch=='-') w=-1;
ch=getchar();
}
while(ch>='0'&&ch<='9') ret=ret*10+ch-'0',ch=getchar();
return w*ret;
}
int n;
int a[5010];//原数组
struct node{//num为LDS的长度，tot为总数
int num;
long long tot;
}f[5010];
int ans1=0;//LDS长度
long long ans2=0;//LDS数量
map<int,bool> mp;
int main()
{
n=read();
for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();
for(int i=n;i>=1;i--)
{
f[i].num=1;
f[i].tot=1;
for(int j=i+1;j<=n;j++)//计算LDS数量和长度
if(a[i]>a[j])
{
if(f[j].num+1>f[i].num) f[i].num=f[j].num+1,f[i].tot=f[j].tot;
else if(f[j].num+1==f[i].num) f[i].tot+=f[j].tot;
}
for(int j=i+1;j<=n;j++)//找出重复部分并删除
if(a[i]==a[j]&&f[i].num==f[j].num) f[j].num=f[j].tot=0;
}
for(int i=1;i<=n;i++)
if(f[i].num>ans1) ans1=f[i].num,ans2=f[i].tot;
else if(f[i].num==ans1) ans2+=f[i].tot;
printf("%d %lld\n",ans1,ans2);
return 0;
}
后记
其实本人看到这道题的第一反应是：雾草！这道题似乎可以用map来维护重复部分诶！于是乎，O(nlgnlgn)成功的爆炸了……后来看了题解才发现原来正解那么愚蠢QAQ
理论上到这里就应该结束了，是的，在ACWing里，以上代码就能轻松的拿到AC的好成绩，但是在luogu中，你却惊喜的发现，第九个点死活也过不去，于是乎，笔者下载了一下第九个点的数据，各位看一下输出：
200 1606938044258990275541962092341162602522202993782792835301376
奉劝正在数位数的各位，别数了，61位。显然，__int128甚至long long也解决不了这个问题，但是我们又不想写高精，那该怎么办呢？突然间，我们想到了long double，这个东西好像比long long存的还多诶。所以我们将输出的种类改为用long double存（有些题解说/1e17存，实际上是不行的，因为精度丢失，直接存就能过），然后呢……AC!
Code(洛谷版)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline int read()
{
int ret=0,w=1;
char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9')
{
if(ch=='-') w=-1;
ch=getchar();
}
while(ch>='0'&&ch<='9') ret=ret*10+ch-'0',ch=getchar();
return w*ret;
}
int n;
int a[5010];
struct node{
int num;
long double tot;
}f[5010];
int ans1=0;
long double ans2=0;
map<int,bool> mp;
int main()
{
n=read();
for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();
for(int i=n;i>=1;i--)
{
f[i].num=1;
f[i].tot=1;
for(int j=i+1;j<=n;j++)
if(a[i]>a[j])
{
if(f[j].num+1>f[i].num) f[i].num=f[j].num+1,f[i].tot=f[j].tot;
else if(f[j].num+1==f[i].num) f[i].tot+=f[j].tot;
}
for(int j=i+1;j<=n;j++)
if(a[i]==a[j]&&f[i].num==f[j].num) f[j].num=f[j].tot=0;
}
for(int i=1;i<=n;i++)
if(f[i].num>ans1) ans1=f[i].num,ans2=f[i].tot;
else if(f[i].num==ans1) ans2+=f[i].tot;
printf("%d %.0Lf\n",ans1,ans2);
return 0;
}
证据在此↓↓↓
