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52. 不用＋、－、×、÷做加法[add two numbers without arithmetic]

 

【本文链接】

http://www.cnblogs.com/hellogiser/p/add-two-numbers-without-arithmetic.html

【题目】

写一个函数，求两个整数的之和，要求在函数体内不得使用＋、－、×、÷。

【分析】

这是一道考察发散思维的很有意思的题目。当我们习以为常的东西被限制使用的时候，如何突破常规去思考，就是解决这个问题的关键所在。

普通四则运算都不能用，那还能用什么啊？我们会想到位运算，因为四则运算本质上都可以通过位运算实现。

举个例子：

首先我们可以分析如何做十进制的加法的，比如是如何得出5+17=22这个结果的。实际上，我们可以分成三步的：

（1）只做各位相加不进位，此时相加的结果是12（个位数5和7相加不要进位是2，十位数0和1相加结果是1）；

（2）做进位，5+7中有进位，进位的值是10；

（3）第三步把前面两个结果加起来，12+10的结果是22，刚好5+17=22。

对应的二进制表示：5的二进制是101，17的二进制10001。

还是试着把计算分成三步：

（1）各位相加但不计进位，得到的结果是10100（最后一位两个数都是1，相加的结果是二进制的10。这一步不计进位，因此结果仍然是0）；

（2）记下进位，在这个例子中只在最后一位相加时产生一个进位，结果是二进制的10；

（3）把前两步的结果相加，得到的结果是10110，正好是22。由此可见三步走的策略对二进制也是管用的。

接下来我们试着把二进制上的加法用位运算来替代。

C# Code

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// 52_AddWithoutArithmetic.cpp : Defines the entry point for the console application. // /* version: 1.0 author: hellogiser blog: http://www.cnblogs.com/hellogiser date: 2014/5/24 */ #include"stdafx.h"#include <iostream> usingnamespace std; // add two numbers without arithmetic recursively int AddWithoutArithmetic_Recursively(int a, int b) { if(b == 0) return a; int sum = a ^ b; int carry = (a & b) << 1; return AddWithoutArithmetic_Recursively(sum, carry); } // compact version int add(int a, int b) { return b == 0 ? a : add(a ^ b, (a & b) << 1); } // add two numbers without arithmetic iteratively int AddWithoutArithmetic_Iteratively(int a, int b) { int sum, carry; do { sum = a ^ b; carry = (a & b) << 1; a = sum; b = carry; } while (carry != 0); return sum; } void test_base(int a, int b) { cout << AddWithoutArithmetic_Recursively(a, b) << endl; cout << AddWithoutArithmetic_Iteratively(a, b) << endl; cout << "----------------------------------------- "; } void test_case() { test_base(5, 7); // 12 test_base(5, -7); // -2 test_base(-5, -7); // -12 } int _tmain(int argc, _TCHAR *argv[]) { test_case(); return0; }

（1）第一步不考虑进位，对每一位相加。0加0与 1加1的结果都0，0加1与1加0的结果都是1。我们可以注意到，这和异或的结果是一样的。对异或而言，0和0、1和1异或的结果是0，而0和1、1和0的异或结果是1。

（2）第二步进位，对0加0、0加1、1加0而言，都不会产生进位，只有1加1时，会向前产生一个进位。此时我们可以想象成是两个数先做位与运算，然后再向左移动一位。只有两个数都是1的时候，位与得到的结果是1，其余都是0。

（3）第三步把前两个步骤的结果相加。如果我们定义一个函数AddWithoutArithmetic，第三步就相当于输入前两步骤的结果来递归调用自己。

【代码】

【扩展】

不用新的变量，交换2个变量的值。

（1）基于加减

C# Code

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// by hellogiser // swap without additional variables // use add/sub void swap(int &a, int &b) {     a = a + b;     b = a - b;     a = a - b; }

（2）基于异或

C# Code

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// by hellogiser // swap without additional variables // use xor void swap(int &a, int &b) {     a = a ^ b;     b = a ^ b;     a = a ^ b; }