——线段树详解
第一次接触线段树大概是在2016.11，当时啥都不懂，lca啥的都不知道，通过啃博客和教材花大概一周强行理解了单点修改，区间查询的线段树（拼命调程序却调不出来的感受。。）。当然，理解了以后就觉得只要明白线段树的原理，现场15min码出来不是什么难事。
今天一时性起，打算把我理解的线段树记下来。
一、线段树是什么？
1.我们为什么要使用线段树？如果只是为了维护一个序列本身，直接用数组就行了，不必使用线段树，就好比能用线段树的时候没必要码个treap上去。线段树的核心作用是维护一个序列的信息，当然这个信息不是什么都行，必须满足区间加法（见ZKW的PPT《统计的力量》）。e.g.可以维护区间和，区间平方和，区间方差等等（都是些基础运用）。
2.线段树支持哪些操作？即便是最低级的线段树也应该支持单点修改和区间查询，或者区间修改单点查询。（如果只能单点修改单点查询还要线段树干嘛qwq）除此以外还有区间修改区间查询。
3.线段树效率的本质？基于堆存储形式确保高度是O(logn)的，因此每次操作只会影响到O(logn)个结点，同时每个节点的维护工作在O(1)时间内完成（当然高级一点的树套树不必拘泥于这点）。
二、单点修改区间查询
1.修改？简单！在线段树上找到要修改的下标对应的叶子结点，修改它的值，自下往上维护信息。
如图：假如要修改第三个位置的值，绿圈所标识的就是被更新的结点，易见复杂度与高度同阶O(logn)。
2.查询？稍微复杂一些。从直觉上讲，我们走到一个结点时，如果已经能用O(1)时间得出这个结点在要查询区间中所做出的贡献（也就是完全被包含或无交集），那么就应该返回答案了，但是这样做复杂度能扛得住吗？
看这幅图：红色结点表示搜索过程中经过的结点，绿色结点表示搜索的末端结点，灰色结点是被忽略的结点，值得在意的事，对于每一层的被涉及的结点，可以分为两类：第一类是红色结点——它们与待查询区间有交集，但不包含，搜索到它们时会继续向下延伸到两个子结点；第二类是绿色结点——它们与待测区间是完全被包含的关系，因此搜索到这里就不继续向下了。然后由两个性质：第一个是红色结点每层至多两个，第二个是绿色结点每层至多两个。稍微想想就知道，每层的红色结点就是边上的两个（可能不到两个，但一定在边上），而相邻的3个绿色结点一定有两个可以合并为父节点，也就是上一层的绿色结点，这两个就没有存在的必要了。基于这两个性质，总共涉及到的结点数不超过4*logn个，复杂度满足O(log n)。
三、区间修改单点查询
1.修改?似乎很难，但是如果我们将”二“中的区间查询用到这里，就能想出解决办法，依然如下图：
想要O(logn)地修改信息，就必须用与查询同样的方法：每碰到一个完全被包含的区间，就想办法在这个结点处记录下改动，然后返回，不碰下面的点。如何记录改动呢？这里引入标记(常称为“懒标记”，lazy tag)，标记有两种含义，看个人习惯了，我程序中的标记表示：当标记存在时，说明该结点及祖先结点都已经完成过这个改动，而子结点均没有，也就是说，打上标记的同时应该维护该结点的信息。标记为何能发挥作用呢？因为如果我没必要将信息推到最底层，就应该把它留在上面，而什么时候应该把标记下推呢？就是需要它下去，也就是当某次操作没有完全覆盖这个结点时，需要下推标记，这样做与之前就下推的区别在哪呢？就是把之前不必要的操作转化为之后必要的操作，使得每次都只做必要的操作，而必要的操作显然是O(logn)的。具体实现见附程序。
2.查询？完全没有难度，只要跟单点修改一样找到结点（路上记得下推标记），然后到达叶子节点时里面存的就是要的答案了（因为所有改动都被推下来了）。
四、区间修改区间查询
1.修改：同“三”中的区间修改，维护标记即可。
2.查询：基本同“二”中的区间查询，只要路上记得下推标记即可。
五、几个注意事项
1.我的线段树写的是左闭右开区间，这样写的好处有——求出mid不用+-1，直接[l,mid)和[mid,r)即可；与stl的风格类似，左闭右开符合处理区间的习惯。
2.离散化用于线段树时，要注意区分线段树结点的实际含义：是代表一个左闭右开区间还是左闭右闭区间？是连续的区间拼成整棵线段树还是离散的？
例题
1.POJ 3468 A Simple Problem with Integers 区间修改区间查询（简单区间加减） 附程序
2.HihoCoder 1080 更为复杂的买卖房屋姿势 区间修改区间查询（区间置值与区间加减）
3.HihoCoder 1079 离散化 区间修改区间查询（离散化线段树） 题解传送门
P.S. HihoCoder第一次点进去要先登录，然后退掉再进一次即可。