《陶哲轩实分析》习题10.4.3

设$\alpha$是实数，并设$f:(0,+\infty)\to \mathbf{R}$是函数$f(x):x^{\alpha}$.

a)证明
\begin{equation}
\label{eq:10.11.11}
\lim_{x\to 1;x\in (0,+\infty)}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\alpha
\end{equation}

证明:设$(q_n)_{n=1}^{\infty}$是有理柯西列，该柯西列的极限是$\alpha$.且$\forall n\in\mathbf{N^{+}}$,$q_n\geq \alpha$(为什么这可以实现?)设$(p_n)_{n=1}^{\infty}$是有理柯西列，该柯西列的极限也为$\alpha$,且$\forall n\in\mathbf{N^{+}}$,$p_n\leq \alpha$(为什么这可以实现?)

当$x>1$时，显然$\forall k\in\mathbf{N^{+}}$,
\begin{equation}
\label{eq:10.12.18}
\frac{x^{p_k}-1}{x-1}\leq \frac{x^{\alpha}-1}{x-1}\leq \frac{x^{q_k}-1}{x-1}
\end{equation}
因此当$x>1$时，
\begin{equation}
\label{eq:10.16.44}
\lim_{x\to 1;x>0}\frac{x^{p_k}-1}{x-1}\leq
\lim_{x\to 1;x>0}\frac{x^{\alpha}-1}{x-1}\leq \lim_{x\to 1;x>0}\frac{x^{q_k}-1}{x-1}
\end{equation}
(为什么?)

根据《陶哲轩实分析》习题10.4.2，可知$\lim_{x\to 1;x>0}\frac{x^{p_k}-1}{x-1}=p_k$,且$\lim_{x\to 1;x>0}\frac{x^{q_k}-1}{x-1}=q_k$.因此
\begin{equation}
\label{eq:10.17.53}
p_k\leq \lim_{x\to 1;x>0}\frac{x^{\alpha}-1}{x-1}\leq q_k
\end{equation}
由于$\lim_{k\to\infty}p_k=\lim_{k\to\infty}q_k=\alpha$,因此根据夹逼定理，$\lim_{x\to 1;x>0}\frac{x^{\alpha}-1}{x-1}=\alpha$.

当$x<1$时，显然$\forall k\in\mathbf{N^{+}}$,
\begin{equation}
\label{eq:10.18.00}
\frac{x^{q_k}-1}{x-1}\leq \frac{x^{\alpha}-1}{x-1}\leq \frac{x^{p_k}-1}{x-1}
\end{equation}
因此当$x<1$时，
\begin{equation}
\label{eq:10.18.07}
\lim_{x\to 1}\frac{x^{q_k}-1}{x-1}\leq \lim_{x\to
1}\frac{x^{\alpha}-1}{x-1}\leq \lim_{x\to 1}\frac{x^{p_k}-1}{x-1}
\end{equation}
(为什么?)

同样根据《陶哲轩实分析》习题10.4.2，可知$\lim_{x\to 1;x>0}\frac{x^{p_k}-1}{x-1}=p_k$,且$\lim_{x\to 1;x>0}\frac{x^{q_k}-1}{x-1}=q_k$.因此
\begin{equation}
\label{eq:10.18.10}
q_k\leq \lim_{x\to 1}\frac{x^{\alpha}-1}{x-1}\leq p_k
\end{equation}
由于$\lim_{k\to\infty}p_k=\lim_{k\to\infty}q_k=\alpha$.因此根据夹逼定理,$\lim_{x\to 1;x>0}\frac{x^{\alpha}-1}{x-1}=\alpha$.

显然$x\neq 1$.

b)证明$f$在$(0,+\infty)$上可微，且$f'(x)=\alpha x^{\alpha-1}$.

证明:
\begin{align*}
\label{eq:10.19.14}
\lim_{x_1\to x_0}\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}&=\lim_{x_1\to
x_0}\frac{x_1^{\alpha}-x_0^{\alpha}}{x_1-x_0}\\&=\lim_{x_1\to
x_0}\frac{x_0^{\alpha}[(\frac{x_1}{x_0})^{\alpha}-1]}{x_0(\frac{x_1}{x_0}-1)}\\&=\lim_{\frac{x_1}{x_0}\to
1}x_0^{\alpha-1}\frac{(\frac{x_1}{x_0})^{\alpha}-1}{\frac{x_1}{x_0}-1}
\end{align*}
根据a),可知上式等于$\alpha x_0^{\alpha-1}$.