POJ-最大连续子序列和

给定一个整数序列，找到一个具有最大和的连续子序列（子序列最少包含一个元素），返回其最大和。

实例输入: -2, 1, -3, 4, -1, 2, 1, -5, 4

实例输出: 6（连续子序列4, -1, 2, 1的和最大，为 6。）

下面介绍动态规划的做法，复杂度为 O(n)。
步骤 1：令状态 dp[i] 表示以 A[i] 作为末尾的连续序列的最大和（这里是说 A[i] 必须作为连续序列的末尾）。
步骤 2：做如下考虑：因为 dp[i] 要求是必须以 A[i] 结尾的连续序列，那么只有两种情况：

1. 这个最大和的连续序列只有一个元素，即以 A[i] 开始，以 A[i] 结尾。
2. 这个最大和的连续序列有多个元素，即从前面某处 A[p] 开始 (p<i)，一直到 A[i] 结尾。

对第一种情况，最大和就是 A[i] 本身。
对第二种情况，最大和是 dp[i-1]+A[i]。
于是得到状态转移方程：dp[i] = max{A[i], dp[i-1]+A[i]}
这个式子只和 i 与 i 之前的元素有关，且边界为 dp[0] = A[0]，由此从小到大枚举 i，即可得到整个 dp 数组。接着输出 dp[0]，dp[1]，...，dp[n-1] 中的最大子即为最大连续子序列的和。

#include<cstdio>
#include<cstring>

int max(int a, int b){return a>b?a:b;}

int main() {
    int n;
    int a[50500], dp[50500];
    scanf("%d", &n);//输入序列长度 
    for(int i=0; i<n; i++) scanf("%d", &a[i]);
    dp[0] = a[0];
    for(int i=1; i<n; i++) dp[i] = max(a[i], dp[i-1] + a[i]);
    int ans = dp[0];
    for(int i=1; i<n; ++i) 
    {
        if(dp[i] > ans) ans = dp[i];
    }
    printf("%d
", ans); 
    return 0;
}

变式：两段最大连续子序列--POJ1481

思路：这道题目的基础就是最大连续子序列和，但是更加强化了。核心思路是从前往后和从后往前分别得到dp，再分别用另一个数组存储到某位置最大值，然后再找最大值。具体看代码。

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;

const int N = 50500;
int a[N],s1[N],s2[N],dp1[N],dp2[N];//s1,s2分别记录到第i个位置的最大序列和（并不要求以i结尾) 
int ans, n;

void f()
{
    s1[0]=a[0], dp1[0]=a[0], s2[n-1]=a[n-1], dp2[n-1]=a[n-1];
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        dp1[i]=max(dp1[i-1]+a[i],a[i]);
        s1[i]=max(s1[i-1],dp1[i]);
    }
    for(int i=n-2;i>=0;i--)
    {
        dp2[i]=max(dp2[i+1]+a[i],a[i]);
        s2[i]=max(s2[i+1],dp2[i]);
    }
    for(int i=1;i<n;i++)ans=max(ans,s1[i-1]+s2[i]);
}

int main() {
    int T;
    cin>>T;
    while(T--)
    {
        
        cin>>n;
        for(int i=0;i<n;i++)cin>>a[i];
        ans = -99999;//因为如果都是负元素就选两个最小的负元素 ，不会小于-20000 
        f();
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}