直径——树直径的神奇性质

description

今有一边带权的树,求其直径，并求其所有直径经过公共边的条数.

solution

本题主要考察树的直径的性质.对于第一问,相信都能做,这里重点讨论第二问.这里,我们介绍两个引理:

 引理一:如果一棵树有多条直径,那么它们必有公共边.

这里用反证法证明.假设树有两条直径(xi(x,y))和(xi(u,v)),其长均为(d).若它们没有公共边,则设(xi(alpha,eta))为两条直径上距离最短的两个点间的路径,则有(max(|xi(x,alpha)|,|xi(y,alpha)|)geq frac{d}{2},max(|xi(u,eta)|,|xi(v,eta)|)geq frac{d}{2}),则有(max(|xi(x,alpha)|,|xi(y,alpha)|)+max(|xi(u,eta)|,|xi(v,eta)|)+|xi(alpha,eta)|>d),与(xi(x,y))和(xi(u,v))是树的直径相矛盾,故树的多条直径间必有公共边.证毕.

 引理二:在引理一的基础上,树的多条直径间的公共边是连续的.

这里交给读者证明.

在这两个引理的基础上,我们可以先求出树直径的两个端点,再从左往右扫一遍,找出最右侧的不可能成为必经边的端点.再从右往左扫一遍,找出最左侧不可能成为必经边的点.最后统计答案即可.具体见代码.

code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<map>
#define R register
#define next jfklslk
#define debug puts("mlg")
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef long double ld;
typedef unsigned long long ull;
inline ll read();
inline void write(ll x);
inline void writesp(ll x);
inline void writeln(ll x);
ll n;
ll head[1000000],next[1000000],tot,to[1000000];
ll w[1000000];
inline void add(ll x,ll y,ll z){to[++tot]=y;next[tot]=head[x];head[x]=tot;w[tot]=z;}
ll l,r;
ll maxn,d[1000000],pre[1000000];
inline void dfs1(ll x,ll fa,ll deep,bool type){
	d[x]=deep;
	pre[x]=fa;
	if(d[x]>maxn){
		maxn=d[x];
		if(type) r=x;
		else l=x;
	}
	for(R ll i=head[x],ver;i;i=next[i]){
		ver=to[i];
		if(ver==fa) continue;
		dfs1(ver,x,deep+w[i],type);
	}
}
bool vis[1100000],book[1100000];
ll dis[1100000],val[1100000];
ll nxt[1100000];
ll maxx;
inline void dfs2(ll x,ll fa,ll deep){
	dis[x]=deep;
	maxx=max(maxx,dis[x]);
	for(R ll i=head[x],ver;i;i=next[i]){
		ver=to[i];
		if(ver==fa||book[ver]) continue;
		dfs2(ver,x,deep+w[i]);	

	}
}
ll l1,r1;
ll ans;
ll cnt;
int main(){
	n=read();
	for(R ll i=1,x,y,z;i<n;i++){
		x=read();y=read();z=read();
		add(x,y,z);add(y,x,z);
	}
	dfs1(1,0,0,0);
	maxn=0;
	dfs1(l,0,0,1);
	writeln(maxn);
	for(R ll x=r;x;x=pre[x]) book[x]=true,nxt[pre[x]]=x,++cnt;
	for(R ll x=r;x;x=pre[x]){
		maxx=0;
		dfs2(x,0,0);
		val[x]=maxx;
	}
	for(R ll x=l;x;x=nxt[x]){
		if(val[x]==maxn-d[x]){
			r1=x;break;
		}
	}
	for(;r1!=0;r1=pre[r1]){
		
		if(val[r1]==d[r1])	break;	
		++ans;
	}
	writeln(ans);
}
inline ll read(){ll x=0,t=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') t=-1;ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}return x*t;}
inline void write(ll x){if(x<0){putchar('-');x=-x;}if(x<=9){putchar(x+'0');return;}write(x/10);putchar(x%10+'0');}
inline void writesp(ll x){write(x);putchar(' ');}
inline void writeln(ll x){write(x);putchar('
');}