POJ 1190 生日蛋糕 【DFS + 极限剪枝】

题目传送门：http://poj.org/problem?id=1190

参考剪枝：https://blog.csdn.net/nvfumayx/article/details/6653111

生日蛋糕

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Description

7月17日是Mr.W的生日，ACM-THU为此要制作一个体积为Nπ的M层生日蛋糕，每层都是一个圆柱体。 
设从下往上数第i(1 <= i <= M)层蛋糕是半径为Ri, 高度为Hi的圆柱。当i < M时，要求Ri > Ri+1且Hi > Hi+1。 
由于要在蛋糕上抹奶油，为尽可能节约经费，我们希望蛋糕外表面（最下一层的下底面除外）的面积Q最小。 
令Q = Sπ 
请编程对给出的N和M，找出蛋糕的制作方案（适当的Ri和Hi的值），使S最小。 
（除Q外，以上所有数据皆为正整数） 

Input

有两行，第一行为N（N <= 10000），表示待制作的蛋糕的体积为Nπ；第二行为M(M <= 20)，表示蛋糕的层数为M。

Output

仅一行，是一个正整数S（若无解则S = 0）。

Sample Input

100
2

Sample Output

68

Hint

圆柱公式 
体积V = πR²H 
侧面积A' = 2πRH 
底面积A = πR² 

Source

Noi 99

 

解题思路：

DFS枚举每层蛋糕的高 H 和 半径 R，要枚举，首先得找出枚举的范围

因为每一层要比上一层少，所以当前层的最小高和半径都等于当前层数。

而最大的高和最大的半径呢？因为高和半径之间的关系 V = r*r*h（省略pi）;如果先确定高，求最大半径需要开方，所以不妨先确定最大半径再推最大高。

最大半径可由上一层半径减一得到， 这时最大的高有可能是 上一层的高减一，也有可能是当前层可以达到的最大体积 V / (r*r)；

参考上文的两类重要剪枝，其中一类就是极限的思想。即我们极端化求到达每一层时所能累积的最小体积和表面积，即每一层的半径和高都为最小的半径和高。

有了这个预处理，我们便可以进行下面的三个剪枝：
① 当前累积的体积加下剩下的理论最小体积 > 最优值的话OUT；

②同理，如果当前累积的表面积加上剩余的理论最小表面积 > 最优值的话OUT；

③真极限了...

表面积： S = 2*r*h； 体积：V = r*r*h；

由上两式可推出体积与表面积的关系=> V*2/r = S；（即体积一定，半径越大表面积越小）；

由于我们的高和半径都是从大到小开始枚举，所以一开始就可以判断如果（当前层最小的表面积） S + （已经累积的表面积）sumS >= 最优值 OUT；

AC code：

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
const int MAXM = 23;
const int MAXN = 1e4+10;
int lminQ[MAXM], lminV[MAXM];
int min_Q;
int N, M;

///已经凑的体积，已经凑的表面积，当前在第几层，下一层的半径，下一层的高
void dfs(int V, int Q, int step, int r, int h)
{
    if(step == 0)          ///层数用完
    {
        if(V == N) min_Q = min(min_Q, Q);  ///体积刚刚好
        return;
    }
    if(V+lminV[step] > N || Q+lminQ[step] > min_Q) return;    //剪枝：如果当前体积加上理论最小体积超过N或者当前表面积加理论最小表面积超过最优值
    if(2*(N-V)/r + Q >= min_Q) return;                  //剪枝：假设最小的表面积已经大于等于最优值，则没有继续搜的意义了
    int max_R = r-1;             ///最大半径为上一层半径减一
    for(int i = max_R; i >= step; i--)  ///枚举半径
    {
        if(step == M)        ///当前在最底层
        {
            Q = i*i;         ///表面积加上最底层的底面积
        }
        int max_H = min(((N-lminV[step-1]-V)/(i*i)), h-1);         ///最大的高度
        for(int j = max_H; j >= step; j--)
        {
            dfs(V+i*i*j, Q+2*i*j, step-1, i, j);
        }
    }
}
int main()
{
    scanf("%d%d", &N, &M);
    lminQ[0] = 0, lminV[0] = 0;
    for(int i = 1; i < 22; i++)       ///预处理每一层的理论最小值
    {
        lminQ[i] = lminQ[i-1] + 2*i*i;
        lminV[i] = lminV[i-1] + i*i*i;
    }
    min_Q = INF;
    dfs(0, 0, M, 100, 10000);
    if(min_Q < INF) printf("%d
", min_Q);
    else printf("0
");
    return 0;
}