#容斥原理 20.9.10

容斥原理

等式左边看作从集合中 所有选任意n个区域的方案，右边表示 每个区域选与不选 的所有方案，是同一个东西。

假设有k个圈圈，中间的区域开始被算了C(1,k)次，之后减去了C(2, k)次,之后又加上C(3, k)次……最后加上(-1)^k-1C(k, k) = 1;
这也是一个组合恒等式，有很多个组合恒等式，搜一下。

题目：能被整除的数

AcWing 890. 能被整除的数

思路：容斥原理

公式的实现方式： 位运算 枚举所有的选法；；
每个同等级的圈圈都可以看做是在这k个数里面选择n合数的组合数
从n个集合当中选任意多个集合

答案

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

typedef long long LL;
const int N = 20;
int p[N];
int main()
{
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    
    for (int i = 0; i < m; i ++ ) cin >> p[i];//输入所有的p
    int res = 0;//结果
    
    for (int i = 1; i < 1 << m; i ++ )//每个i代表一种取法，每种取法代表了一个圈圈，每个圈圈可以看做是k个圈圈相交得到的圈圈
    {
        int t = 1, s = 0;//s算1的个数也就是算这个圈圈是由几个圈圈橡胶垫得到的圈圈
        for (int j = 0; j < m; j ++ )
            if (i >> j & 1)
            {
                if ((LL)t * p[j] > n)//要是大于n的话，说明这种数根本不存在。
                {
                    t = -1;//不用算了。
                    break;
                }
                t *= p[j];//倍数
                s ++;//算1的个数
            }

        if (t != -1)//
        {
            if (s % 2) res += n / t;//如果是数个的话就加上
            else res -= n / t;//如果是偶数个的话就减去
        }
    }
    
    cout << res << endl;
    return 0;
}