题目大意
有 (n) 堆石子，初始时第 (i) 堆石子有 (a_i) 个。
你每次取石子会取 (k) 个。在你取完一堆石子之后才能在下一堆中取石子。
游戏会进行 (t) 轮，每轮会发生以下事件：
- 你可以进行任意次取石子操作。
- 每堆的石子个数会增加，具体的，第 (i) 堆的式子个数会增加 (b_i) 个。
每一堆式子有个上限 (c_i)，如果在某个时刻，某堆石子的数量超过上限，就就输了。
求在不会输掉游戏的前提下，你最少进行几次取石子操作。
(n,tleq 200,1leq kleq {10}^9,0leq a_i,b_ileq c_ileq {10}^9)。
题解
我们可以在最后加一堆 (a={10}^9,b={10}^9,c={10}^9 imes (t+1)) 的石子堆，这样每次取石子都一定能取到 (k) 个。这可以让我们更方便地计算石子个数。
先考虑 (a_i=0) 的情况。
记 (sa,sb) 为 (a,b) 的前缀和。
记 (f_{i,j}) 为前 (i) 堆石子，进行了 (j) 轮游戏，且每次取石子都取了 (k) 个的最小操作次数。
记 (g_{i,j}) 为前 (i) 堆石子，进行了 (j) 轮游戏，再取了若干次石子，每次石子都取了 (k) 个，且 ([1,i)) 的石堆中没有石子的最小操作次数。
-
如果不取第 (i) 种石子也满足要求（即 (j imes b_ileq c_i) 且 (f_{i-1,j} eq infty)），转移为
- (f_{i,j}leftarrow f_{i-1,j})
- (g_{i,j}leftarrowlceilfrac{j imes sb_{i-1}}{k} ceil)（要求 (lceilfrac{j imes sb_{i-1}}{k} ceil imes kleq j imes sb_i)，因为要有足够多的式子给你取）
-
否则枚举最后一次取 (i) 的时间 (l)，我们的策略是：
- 先在前 (l) 轮取完 ([0,i))，再取若干次石子：(g_{i,l})
- 计算要取多少次第 (i) 堆的石子：剩余的石子个数是 (m=l imes sb_{i}-k imes g_{i,l})。为了让第 (i) 堆的石子不超过上限，我们还要取 (x=lceilfrac{max(0,m+(j-l) imes b_i-c_i)}{k} ceil) 次。如果石子不够（(x imes k>m)），则无解。
- 再决策剩下 (j-l) 轮。这部分的贡献和第一种情况类似。
因此，转移为：
- (f_{i,j}leftarrow g_{i,l}+x+f_{i-1,j-l})
- (g_{i,j}leftarrow g_{i,l}+x+lceilfrac{(j-l) imes sb_{i-1}}{k} ceil)
时间复杂度为 (O(nt^2))。
(a_i eq 0) 的情况和 (a_i=0) 的情况类似，只需要在某些计算石子个数的地方加上 (a_i) 即可。
代码
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<functional>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<assert.h>
//using namespace std;
using std::min;
using std::max;
using std::swap;
using std::sort;
using std::reverse;
using std::random_shuffle;
using std::lower_bound;
using std::upper_bound;
using std::unique;
using std::vector;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef double db;
typedef long double ldb;
typedef std::pair<int,int> pii;
typedef std::pair<ll,ll> pll;
void open(const char *s){
#ifndef ONLINE_JUDGE
char str[100];sprintf(str,"%s.in",s);freopen(str,"r",stdin);sprintf(str,"%s.out",s);freopen(str,"w",stdout);
#endif
}
void open2(const char *s){
#ifdef DEBUG
char str[100];sprintf(str,"%s.in",s);freopen(str,"r",stdin);sprintf(str,"%s.out",s);freopen(str,"w",stdout);
#endif
}
int rd(){int s=0,c,b=0;while(((c=getchar())<'0'||c>'9')&&c!='-');if(c=='-'){c=getchar();b=1;}do{s=s*10+c-'0';}while((c=getchar())>='0'&&c<='9');return b?-s:s;}
void put(int x){if(!x){putchar('0');return;}static int c[20];int t=0;while(x){c[++t]=x%10;x/=10;}while(t)putchar(c[t--]+'0');}
int upmin(int &a,int b){if(b<a){a=b;return 1;}return 0;}
int upmax(int &a,int b){if(b>a){a=b;return 1;}return 0;}
void upmin(ll &a,ll b)
{
a=min(a,b);
}
const int N=210;
const ll inf=0x3fffffffffffffffll;
ll f[N][N][2];
ll g[N][N][2];
ll a[N],b[N],c[N],sa[N],sb[N];
ll ceil(ll a,ll b)
{
return (a+b-1)/b;
}
int n,t;
ll k;
int main()
{
open("c");
scanf("%d%d%lld",&n,&t,&k);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%lld%lld%lld",&a[i],&b[i],&c[i]);
sa[i]=sa[i-1]+a[i];
sb[i]=sb[i-1]+b[i];
}
// printf("%lld
",sa[n]);
n++;
a[n]=1000000000ll;
b[n]=1000000000ll;
c[n]=1000000000ll*(t+1);
sa[n]=sa[n-1]+a[n];
sb[n]=sb[n-1]+b[n];
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=t;j++)
{
f[i][j][0]=g[i][j][0]=inf;
if(0*a[i]+j*b[i]<=c[i]&&f[i-1][j][0]!=inf)
{
upmin(f[i][j][0],f[i-1][j][0]);
if(ceil(j*sb[i-1]+0*sa[i-1],k)*k<=0*sa[i]+j*sb[i])
upmin(g[i][j][0],ceil(j*sb[i-1]+0*sa[i-1],k));
}
for(int l=1;l<j;l++)
if(f[i-1][j-l][0]!=inf&&g[i][l][0]!=inf)
{
ll m=0*sa[i]+l*sb[i]-k*g[i][l][0];
ll x=ceil(max(0ll,m+(j-l)*b[i]-c[i]),k);
if(__int128(k)*x>m)
continue;
upmin(f[i][j][0],g[i][l][0]+x+f[i-1][j-l][0]);
if(ceil((j-l)*sb[i-1],k)*k<=m-x*k+(j-l)*sb[i])
upmin(g[i][j][0],g[i][l][0]+x+ceil((j-l)*sb[i-1],k));
}
}
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=0;j<=t;j++)
{
f[i][j][1]=g[i][j][1]=inf;
if(1*a[i]+j*b[i]<=c[i]&&f[i-1][j][1]!=inf)
{
upmin(f[i][j][1],f[i-1][j][1]);
if(ceil(j*sb[i-1]+1*sa[i-1],k)*k<=1*sa[i]+j*sb[i])
upmin(g[i][j][1],ceil(j*sb[i-1]+1*sa[i-1],k));
}
for(int l=0;l<j;l++)
if(f[i-1][j-l][0]!=inf&&g[i][l][1]!=inf)
{
ll m=1*sa[i]+l*sb[i]-k*g[i][l][1];
ll x=ceil(max(0ll,m+(j-l)*b[i]-c[i]),k);
if(__int128(k)*x>m)
continue;
upmin(f[i][j][1],g[i][l][1]+x+f[i-1][j-l][0]);
if(ceil((j-l)*sb[i-1],k)*k<=m-x*k+(j-l)*sb[i])
upmin(g[i][j][1],g[i][l][1]+x+ceil((j-l)*sb[i-1],k));
}
}
ll ans=f[n][t][1];
printf("%lld
",ans);
return 0;
}