Google Code Jam 2021 Round1A 题解

Append Sort

贪心。对于(i ge 2)，每次将(s_i)修改成所有满足条件的数中最小的那个。

不妨将(s_i)看成字符串。

如果(s_i)是(s_{i - 1})的前缀，那么一个可能的解是(t = str(int(s_{i - 1}) +1))，或者不断补0直至(len(s_i) = len(s_{i - 1}) + 1)。前者若可行则会更优。前者可行的条件为(s_i)是(t)的前缀。

如果(s_{i - 1} < s_i)，不断补0直至长度相等。

否则，不断补0直至(len(s_i) = len(s_{i - 1}) + 1)。

Prime Time

Test Set 1

(sum_i N_i)很小，可以直接暴力枚举。

记(SUM)为集合1的和，(MUL)为集合2的乘积。

假设一开始所有数都属于集合1，不断尝试将集合1中的某个数移到集合2。

Test Set 2

由于(SUM)至多为(499 imes 100)，所以可行的(MUL)也至多为这个数，差不多在(2^{16})左右。所以还是可以暴力枚举判断，只需要加加剪枝就可以了。

枚举过程中，若(MUL > SUM)，则后续的枚举就可以剪掉。

Test Set 3

现在(SUM)至多为(499 imes 10^{15})，差不多在(2^{60})左右，暴力枚举已经不太行了。

可以推出集合2中至多有60个元素，由此可以推出集合2中的元素之和有一个非常宽松的上界(499 imes 60 = 29940)，这又可以推导出可能的(SUM)至多有(29940)个。

枚举所有可能的(SUM)，若可行，则(MUL = SUM)，对(MUL)进行质因数分解，在判断是否可行就可以了。由于(MUL)可能的质因数为输入的素数，所以这里质因数分解其实挺快的。

Hacked Exam

Test Set 1

无脑暴力。

Test Set 2

n=1

记(p_i)表示第(i)道题，答案和学生1相同的概率，那么若(p_i ge frac{1}{2})，第(i)道题就和学生1填一样的，反之填和学生1相反的。

(q)道题中有(score_1)道题是对的，共(C_{q}^{score_1})种方法。

如果学生1第(i)道题是对的，那么现在就是(q - 1)道题种，有(score_1 - 1)道题是对的，共(C_{q - 1}^{score_1 - 1})种方法。即：

[p_i = frac{C_{q - 1}^{score_1 - 1}}{C_{q}^{score_1}} = frac{score_1}{q}。 ]

n=2​

可以用动态规划（记忆化搜索）做。

记(p_i)表示第(i)道题，答案为T的概率。

记(f(s_1, s_2, i))为仅考虑第(i)道以及之后的问题，且满足此时学生1的分数为(s_1)，学生2的分数为(s_2)，的方法数。

那么(f(s_1, s_2, i) = f(s_1 - g(1, i, T), s2 - g_2(i, T),i + 1) + f(s_1 - g(1, i, F), s_2 - g(2, i, F), i + 1))。

其中，(g(a, b, c))表示若正确答案为(c)，第(a)个学生第(b)道题的得分。

那么，第(1)道题的答案为T的概率就是

[p_1 = frac {f(s_1 - g(1, 1, T), s_2 - g(2, 1, T), 2)} {f(s_1, s_2, 1)}。 ]

时间复杂度为(O(Q^3))。

由于问题的顺序并不会影响最终的结果，所以可以每次将题目(i)移动到第1个位置，然后跑出(p_i)。这样子的时间复杂度为(O(Q^4))。

其实对于所有学生1给出答案T，学生2给出答案T的题目，这些题目其实是等价的，同理可以类推，一共有(4)种类型的题目(TT，TF，FT，FF)。每种类型跑一遍记录下来就可以了，没有必要跑多次。这样子的时间复杂度为(O(Q^3))。

其实，(P_{TT} = 1 - P_{FF}, P_{TF} = 1 - P_{FT})，所以也可以只跑(P_{TT}, P_{TF})，再去推(P_{FF}, P_{FT})。

Test Set 3

TO BE SOLVED.