求$(cos x+2)(sin x+1)$的最大值
解： 设$$f(x)=cos x sin x +cos x+ 2sin x +2$$
令$t= an{frac{x}{2}}$, 则
$$sin x=frac{1}{1+t^{2}}; cos x=frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$$
带入$f(x)$, 转为求下式的最大值
$$g(t)=frac{-t^{4}+2t^{3}+6t+1}{(1+t^{2})^{2}}+2$$
对$g(t)$求导数
$$g'(t)=frac{-2(t^{4}+2t^{3}+6t^{2}+2t-3)}{(1+t^{2})^{3}}$$
令 $g'(t)=0$,即是使得
$$t^{4}+2t^{3}+6t^{2}+2t-3=0$$
对上式作因子分解
$$(t+1)(t^{3}+t^{2}+5t-3)=0$$
由一元三次方程求根公式，可得上式的四个根。$x_{0}=-1$.
$$x_{1}=-frac{1}{3}-frac{(1+ sqrt{3}i)(31+3sqrt{183})^{1/3}}{3 imes 2^{2/3}}+frac{7(1-sqrt{3}i)}{3(2(31+3sqrt{183}))^{1/3}}$$
$$x_{2}=-frac{1}{3}-frac{(1- sqrt{3}i)(31+3sqrt{183})^{1/3}}{3 imes 2^{2/3}}+frac{7(1+sqrt{3}i)}{3(2(31+3sqrt{183}))^{1/3}}$$
$$x_{3}=frac{1}{3}left(-1-frac{7 imes 2^{2/3}}{(31+3sqrt{183})^{1/3}}+2^{1/3}(31+3sqrt{183})^{1/3}
ight)$$
判断$-1$与$x_{3}$的大小以便判断$g'(t)$的变化趋势也比较麻烦，由连续函数于闭区间上必可取得最大值和最小值，直接计算$g(+infty),g(-infty),g(-1),g(x_{3})$ 即得最大值为
$$g(x_{3})=2+dfrac{sqrt[3] {4644+183sqrt{183}} }{12}+dfrac{83}{4sqrt[3] {4644+183sqrt{183} }}$$