设 $f$ 在 $[0,1]$ 上连续, 在 $(0,1)$ 内二阶可导, 且 $$ex lim_{x o 0}cfrac{f(x)}{x^2}mbox{ 存在,}quad int_0^1 f(x) d x=f(1). eex$$ 证明: 存在 $xiin (0,1)$, 使得 $f''(xi)+2xi f'(xi)=0$.
证明: 由 $dps{lim_{x o 0}cfrac{f(x)}{x^2}}$ 存在知 $f(0)=0$, 而 $$ex f'(0)=lim_{x o 0}cfrac{f(x)}{x^2} cdot x=0. eex$$ 又由积分中值定理 (与书上的不同, 要变形, 证明利用微分中值定理), $$ex exists etain (0,1),st f(eta)=int_0^1 f(x) d x=f(1). eex$$ 再据 Rolle 定理, $$ex exists zetain(eta,1),st f'(zeta)=0. eex$$ 记 $F(x)=e^{2x}f'(x)$, 则 $$ex F(0)=F(zeta)=0. eex$$ 由 Rolle 定理, $$ex exists xiin (0,zeta),st F'(xi)=0. eex$$