2016年4月
一、i)设$D$为$mathbb{R}^n$上的一个区域$f:D o mathbb{R}^n$为连续可微映射.试叙述关于映射$f$的逆映射定理(包括条件和结论).
ii)试利用逆映射定理证明不存在从$mathbb{R}^n$到$mathbb{R}^1$的连续可微的单射.
二、给定$mathbb{R}^3ackslash{0}$上的向量场
[overrightarrow v = left( {frac{x}{{{{left( {{x^2} + 2{y^2} +
3{z^2}}
ight)}^{frac{3}{2}}}}},frac{y}{{{{left( {{x^2} + 2{y^2} +
3{z^2}}
ight)}^{frac{3}{2}}}}},frac{z}{{{{left( {{x^2} + 2{y^2} +
3{z^2}}
ight)}^{frac{3}{2}}}}}}
ight).]
记$overrightarrow n$为$mathbb{R}^3$中的单位球面$S^2$的单位外法向量场.试求积分
[int_{S^2}overrightarrow vcdot overrightarrow n dsigma.]
三、设定义在$mathbb{R}$上周期为$2pi$的函数$f$在区间$(-pi,pi]$上的取值为$f(x)=x$.
i)试给出其Fourier级数,求出Fourier级数的和函数,并说明此级数是否在$mathbb R$上一致收敛.
ii)试利用上述Fourier级数及Parseval等式求级数$sum_{ngeq1}frac1{n^2}$的和.
四、设$f(x)$在单位圆盘$|z|<1$上解析,满足$|f(z)|<1$,并且$f(alpha)=0$,其中$|alpha|<1$.
1.试证明当$|z|<1$时成立[left| {fleft( z
ight)}
ight| le left| {frac{{z - alpha }}{{1 - overline alpha z}}}
ight|.]
2.试给出上面的不等式中等号成立的充要条件.
五、给定$Ain M_n(mathbb C)$.令$f(x)$为其特征多项式, $g(x)in mathbb C [x]$是一个整除$f(x)$的$n-1$次多项式.求$g(A)$可能的秩,并说明理由.
六、设$V$是复数域上的$n$维线性空间, $sigma$为$V$上的一幂幺变换(即:存在正整数$k$使得$sigma^k=1_V$,
$1_V$是$V$上的恒等变换).设$W$为$V$的$sigma-$不变子空间.证明$V$中存在$sigma-$不变子空间$W'$使
得$V=Woplus W'$.
转自: http://www.math.org.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=36021