数据结构之树

第一部分：定义

　　树（Tree）是n(n>=0)个结点的有限集。 n = 0 时成为空树。在任意一颗非空树中： 

　　　　（1）. 有且仅有一个特定的成为根（root）的节点。

　　　　（2）. 当 n > 1 时，其余结点可以分为m个互不相交的有限集 T1、 T2、 T3 .....Tm，其中每一个集本身又是一棵树，并且称为根的子树。

　　

第二部分：基本概念

　　1. 结点分类

　　 在一棵树中，结点分为 根结点、内部结点和叶结点（又称终端结点）。

　　结点拥有的子树的数目称为结点的度（Degree）。 B的度为1， D的度为3

　　在一棵树中， 最大的结点的度为树的度。  由于D的度最多，所以树的度就是3.

　　

　　

　　 2.节点间关系

　　　　　其中B是A的孩子， A是B的双亲， C是B的兄弟。 之所以称之为双亲是因为对于结点来说父母同体，只有这么称呼是比较合适的了。

　　

　　  3. 其他相关概念

　　　　　结点的层次： 从根开始算起， 根为第一层，然后第二层，第三层....

　　　　  树的深度或高度： 结点的最大层次就是树的深度或高度。

　　　　  有序树：如果将树中结点的各子树看成是从左到右有次序的，不能互换的，那么该树就是有序树，否则就是无序树。

第三部分： 树的存储结构

　　　我们知道， 树中某个结点的孩子有多个，所以无论是使用顺序存储结构还是使用链式存储结构，都不能很好的表示树。但是我们可以利用顺序存储结构和链式犓结构的特点来实现之。

　　　一. 双亲表示法

　　　我们假设以一组连续的空间存储树的结构，同时在每个节点中，附加一个指示器指示其双亲结点在数组中的位置，也就是说，每个结点不仅仅知道自己是谁意外，还知道它的双亲在数组中的哪个位置。  

　　　即一个结点包含两个部分： 1.  data（数据域） --- 用于存储结点的数据信息。   2. parent (指针域) --- 用于存储该结点的双亲在数组中的下标。

　　  

　　 注意： 这样的好处是我们可以根据结点的parent指针很容易的找出它的双亲结点，所以复杂度是O(1)，  但是如果我们要知道结点的孩子是谁，就得遍历整个结构才行。为了解决这个问题，我们可以增加一个结点最左边孩子的域，可以称之为长子域。  孩子可以找到了， 但是找兄弟呢 ？ 我们还可以增加一个兄弟域，这样，可以发现：

存储结构的设计是一个非常灵活的过程，一个存储结构设计的是否合理，取决于该存储结构的运算是否合适、是否方便， 时间复杂度好不好等等。　　

　　

　　　二. 孩子表示法

　　  如果一棵树中的每一个结点都有很多的孩子，  那么这时孩子为重，  我们就可以考虑每个结点有多个指针域， 每个指针域指向一颗子树的根节点， 这种方法就是多重链表表示法。 不难想象，多重链表表示法的最终结构和一颗树的结构是无异的。但是根据一个结点需要多少个域的不同，我们可以将多重链表表示法分为下面两种：

　　　1. 每个结点的指针域的个数是数的度

　　　　　优点　这样做的好处在于树的结构是稳定的、整齐的、维护起来较为方便。 缺点 坏处在于有可能很多指针域都是空着的，造成了资源的浪费。

　　　2. 每个结点的指针域的个数就是其子节点的个数（即它的度）

　　　　  优点  这样做的好处在于不会造成资源的浪费。  缺点 坏处在于这样在后期维护起来会比较麻烦，且结构会比较混乱。

　　　ok！  那有没有一种方法可以回避上面的缺点呢？ 当然有，这就是孩子表示法了， 孩子表示法，即以n个结点的单链表作为存储结构， 则n个结点就有n个孩子链表，每个结点又会引出孩子的节点（如果没有孩子，就不会引出，如果有，就一直引下去）。

　　　　这样的表示法缺点在于，如果知道某个结点的双亲是谁呢？  并不难，只要我们把双亲表示法和孩子表示法综合一下不就行了吗？  这种思路当然可行。

　　　三、 孩子兄弟表示法

　　

第四部分：二叉树

　　二叉树（Binary Tree）是n个结点的有限集合，该集合或者为空集，或者由一个根节点和两颗互不相交的、分别称为根节点的左子树和右子树的二叉树组成。　　

　　1. 二叉树的特点

1.  每个结点最多有两个子树。
2.  左子树和右子树的顺组是不能随意颠倒的。
3.  即使某个结点只有一个子树，也要分清楚左子树还是右子树。
4. 三个结点可以构成 5 种不同的二叉树。

　　

　　2. 一些特殊的二叉树

1. 斜树  如上图中的第二个图和最后一个图就是斜树 ---  每一层都只有一个结点，结点的个数和二叉树的深度相同。
2. 满二叉树 在一颗二叉树中，如果所有分支结点都存在左子树和右子树，并且所有的叶子都在同一层上， 这样的二叉树就称为满二叉树。
3. 完全二叉树  对于一颗具有n个结点的二叉树按层序编号，如果编号为i （1 <= i <= n）的结点与同样深度的满二叉树中编号为i的结点在树中的位置完全相同，则这棵树就是完全二叉树。  编号方式： 从上到下，从左到右。
4. 注意： 满二叉树一定是完全二叉树， 完全二叉树不一定是满二叉树。

　　

　　3. 二叉树的5条性质

　　性质一：  在二叉树的第i层上最多有2^i-1  个结点。（i>=1）.   如二叉树的第三层上最多有2 的 2 次方个结点。

　　性质二： 在深度（或高度）为k的二叉树上最多有 2^k - 1 个结点。  如深度为3的二叉树的结点数最多为 2 ³ - 1 = 7个结点。

　　性质三： 对于任意一颗二叉树T， 如果其终端的节点数为n₀  ，度为2的节点数为n₂， 则有n₀= n₂ + 1; 

　　性质四： 具有n个结点的完全二叉树的深度为[log₂n] + 1 （其中[x]表示不大于x的最大整数）。

　　性质五： 

　　如果对一颗有n个结点的完全二叉树(其深度为[log₂n] + 1)的结点按层序编号（从上到下，从左到右）， 对任一结点i (1 <= i <= n)都有：

　　　　1. 如果 i = 1, 那么结点i是二叉树的根。 如果i > 1, 那么双亲是结点[i/2]。

　　　　2. 如果 2i>n, 则结点 i 无左孩子，否则其做孩子是2i。

　　　　3. 如果2i + 1 > n, 则结点i无右孩子， 否则其右孩子是结点 2i + 1;

　　

第五部分：遍历二叉树

二叉树的遍历 ( traversing binary tree )是指从根节点出发， 按照某种次序依次访问二叉树中的所有结点，使得每个结点都被访问一次且仅被访问一次。　　

　　这里的两个关键词是 访问 和 次序。

　　显然，二叉树的访问次序不同于线性结构，对于线性结构而言，最多也就是从头到尾、循环、双向等简单的遍历方式。树的结点之间不存在唯一的前驱和后继，所以在访问了一个结点之后，下一个被访问的结点面临着不同的选择。因而，对于二叉树而言，遍历结点的方式就完全不同了。

　　说明：一般我们的习惯是从左到右的，这里同样也做出这样的限制。那么遍历时，前中后是指根节点被访问的时间上的前、中、后。 

　　如前序遍历时先访问根节点、 中序历时中间的时候访问根节点、后续遍历是最后访问根节点。 不论是哪种遍历方式都是先左子树、后右子树。

一： 前序遍历

　　规则： 若二叉树为空， 则空操作返回，否则先访问根结点，然后前序遍历左子树，在前序遍历右子树。

　  在二叉树中，先根后左再右。巧记：根左右。

二： 中序遍历

　　规则： 若树为空， 则空操作返回， 否则先从根节点开始（注意并不是先访问根节点），中序遍历根节点的左子树，然后是访问根节点，最后中序遍历右子树。

     在二叉树中，先左后根再右。巧记：左根右。

　　注意： 对称遍历就是中序遍历。

三： 后续遍历

　　规则： 若树为空，则空操作返回，否则从左到右先叶子结点的方式遍历访问左子树，最后是访问根节点。

　　在二叉树中，先左后右再根。巧记：左右根。

四：层序遍历

　　规则： 若树为空，则空操作返回，否则从树的第一层开始，也就是根节点开始访问，从上而下逐层遍历，在同一层中，按照从左到右的顺序对结点逐个访问。

　　这个是最为简单的，只要遵循从上到下、从左到右的规则即可。

规则： 1. 这里的空操作返回，就是指向上返回，且空操作返回是共同点。   2. 这里的左子树、右子树和根节点都是相对的，环境和事件稍有改变，这些名词所代表的实体就发生了彻底的变化。

　　　3. 每次访问到一个节点，那么就要以这个节点作为根节点看作一个二叉树。