[BZOJ2440][中山市选2011]完全平方数

题目描述

小 X 自幼就很喜欢数。但奇怪的是，他十分讨厌完全平方数。他觉得这些数看起来很令人难受。由此，他也讨厌所有是完全平方数的正整数倍的数。然而这丝毫不影响他对其他数的热爱。

这天是小X的生日，小 W 想送一个数给他作为生日礼物。当然他不能送一个小X讨厌的数。他列出了所有小X不讨厌的数，然后选取了第 K个数送给了小X。小X很开心地收下了。

然而现在小 W 却记不起送给小X的是哪个数了。你能帮他一下吗？

输入输出格式

输入格式：

包含多组测试数据。文件第一行有一个整数 TTT ，表示测试数据的组数。 第 222 至第 T+1T+1T+1 行每行有一个整数 KiK_iKi​ ，描述一组数据，含义如题目中所描述。

输出格式：

含T 行，分别对每组数据作出回答。第 iii 行输出相应的第 KiK_iKi​ 个不是完全平方数的正整数倍的数。

输入输出样例

输入样例#1： 

4 
1 
13 
100 
1234567

输出样例#1： 

1 
19 
163 
2030745

说明

对于 50%的数据有 1≤Ki≤1051 ≤ K_i ≤ 10^51≤Ki​≤105 , 对于 100%的数据有 1≤Ki≤109,T≤501 ≤ K_i ≤ 10^9, T ≤ 501≤Ki​≤109,T≤50

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伤心，从入坑就开始陪着我的U盘，在3个小时前于河北省图书馆遗失，我忍着万分的悲痛，写下了这篇题解。

直接二分答案mid，把题目变成在1~mid中是否有k个数满足要求。

然后我们就考虑怎么求有多少个数满足要求。

我们回顾一下莫比乌斯函数的定义。

①若d=1,μ(d) = 1;

②若d=p1*p2*...*pk, pi均为不同的质数，那么μ(d)=(-1)^k;

③其他情况μ(d) = 0；

题目所要求的没有平方因子就 代表着μ != 0。

然后答案就是n - 只有2个质因子的数的平方的倍数的个数(1不算质因子) + 只有3个质因子的数的平方的倍数的个数 - 只有4个质因子的数的平方的倍数的个数.......

为什么？举个例子：

设 x1 = p1, x2 = p1 * p2;

那么x1^2=p1^2, x2^2 = p1^2 * p2^2;

我们发现，x2^2在x1^2的p2^2倍的时候被计算过了一次...

根据容斥原理得出上列式子，然后我们如何计算呢？

容易发现，式子前面的符号，恰好就是莫比乌斯函数，即乘积a前面的符号是μ(a);

所以计算的式子为Σ(i:1~sqrt(mid)) (mid/i^2);

做完了...

还是放不下...我的课件我的截图我的表情我的模板我的照片全在里面QAQ。

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#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;
#define int long long
bool vis[50005];
int miu[50005], prime[50005], top;

inline int calc(int mid)
{
    int sum = 0;
    for (register int i = 1 ; i * i <= mid ; i ++)
        sum += miu[i] * mid / (i * i);
    //printf("%d
", sum);
    return sum;
}

signed main()
{
    miu[1] = 1;
    for (register int i = 2 ; i < 50000 ; i ++)
    {
        if (!vis[i])
        {
            prime[++top] = i;
            miu[i] = -1;
        }
        for (register int j = 1 ; j <= top and i * prime[j] < 50000 ; j ++)
        {
            vis[i*prime[j]] = 1;
            if (i % prime[j]) miu[i*prime[j]] = - miu[i];
            else {
                miu[i*prime[j]] = 0;
                break;
            }
        }
    }
    
    int T;
    scanf("%lld", &T);
    while(T--)
    {
        int k;
        scanf("%lld", &k);
        int l = 1, r = k << 1;
        int ans = 0;
        while(l <= r)
        {
            int mid = l + r >> 1;
            if (calc(mid) >= k) r = mid - 1, ans = mid;
            else l = mid + 1;
        }
        printf("%lld
", ans);
    }
    return 0;
}