Codeforces 509F Progress Monitoring：区间dp【根据遍历顺序求树的方案数】

题目链接：http://codeforces.com/problemset/problem/509/F

题意：

　　告诉你遍历一棵树的方法，以及遍历节点的顺序a[i]，长度为n。

　　问你这棵树有多少种可能的形态。

　　遍历方法：

　　　　used[1 ... n] = {0, ..., 0};

　　　　procedure dfs(v):

　　　　　　print v;

　　　　　　used[v] = 1;

　　　　　　for i = 1, 2, ..., n:

　　　　　　　　if (a[v][i] == 1 and used[i] == 0):

　　　　　　　　　　dfs(i);

　　　　dfs(1);

题解：

　　表示状态：

　　　　dp[i][j] = numbers

　　　　表示a[i to j]这些节点，以a[i]为根所能构成的树的方案数。

　　找出答案：

　　　　ans = dp[1][n]

　　如何转移：

　　　　dp[i][j]一定以a[i]为根，且第一个访问的子节点一定是a[i+1]。

　　　　所以将dp[i][j]分为三部分：

　　　　　　（1）根节点a[i]

　　　　　　（2）最左边的一棵子树a[i+1 to k]

　　　　　　（3）右边剩下的一堆节点a[k+1 to j]

　　　　那么根据乘法原理：

　　　　　　dp[i][j] = ∑ dp[i+1][k]*右边一堆节点的方案数

　　　　然而遍历是根据节点编号从小到大访问儿子节点的。

　　　　这就要求，对于后面的一堆节点，如果其中某一个a[x]要和a[i+1]在同一层，那么一定要有a[i+1]<a[x]。

　　　　又因为对于右边的一堆节点来说，最先访问到的肯定是a[k+1]。

　　　　所以就是要保证：a[i+1]<a[k+1] or a[k+1]不存在

　　　　这样就不用管后面的节点了，爱咋分咋分……

　　　　接下来考虑如何求右边一堆节点的方案数。

　　　　a[k+1 to j]形成森林的方法数 = a[k to j]以a[k]为根的子树的方法数。

　　　　所以右边一堆节点的方案数 = dp[k][j]

　　　　最终就是：

　　　　　　if(a[i+1]<a[k+1] || k==j)

　　　　　　　　dp[i][j] += dfs(i+1,k)*dfs(k,j);

　　　　　　用记忆搜搞就行。

　　边界条件：

　　　　dp[i][i] = 1

AC Code:

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define MAX_N 505
#define MOD 1000000007

using namespace std;

int n;
int a[MAX_N];
long long dp[MAX_N][MAX_N];

long long dfs(int i,int j)
{
    if(i==j) return 1;
    if(dp[i][j]!=-1) return dp[i][j];
    dp[i][j]=0;
    for(long long k=i+1;k<=j;k++)
    {
        if(a[i+1]<a[k+1] || k==j)
        {
            dp[i][j]+=dfs(i+1,k)*dfs(k,j);
            dp[i][j]%=MOD;
        }
    }
    return dp[i][j];
}

int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
    memset(dp,-1,sizeof(dp));
    cout<<dfs(1,n)<<endl;
}