【LeetCode】365. 水壶问题

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365. 水壶问题

题目描述：

有两个容量分别为 x 升和 y 升的水壶以及无限多的水。请判断能否通过使用这两个水壶，从而可以得到恰好 z 升的水？

如果可以，最后请用以上水壶中的一或两个来盛放取得的 z 升水。

你允许：

• 装满任意一个水壶
• 清空任意一个水壶
• 从一个水壶向另外一个水壶倒水，直到装满或者倒空

示例：

示例 1：

输入：x = 3, y = 5, z = 4
输出：true

示例 2：

输入：x = 2, y = 6, z = 5
输出：false

思路：

先放一个预备知识：

裴蜀定理（又称贝祖定理）：维基百科，百度百科

简单来讲就是：

若 x, y 是整数，且它们的最大公约数为 d，那么对于任意的整数 a, b，ax+by 都一定是 d 的倍数。特别地，一定存在整数 a,b，使 ax+by=d 成立。

值得注意的是：a,b 可以是负数。

下面的内容是官方题解，我觉得十分精彩，就搬过来了。原链接：官方题解

另外，题目条件十分值得认真审阅：

1. 最后请用以上水壶中的一或两个来盛放取得的 z 升水：那么如果 x + y < z，直接 false；
2. 根据题目给出的三个倒水的条件，可以得到这样的结论：每次操作只会让桶里的水总量增加 x 或增加 y或减少 x或者减少 y。

你可能认为这有问题：如果往一个不满的桶里放水，或者把它排空呢？那变化量不就不是 x 或者 y 了吗？接下来解释这一点：

• 首先要清楚，在题目所给的操作下，两个桶不可能同时有水且不满。因为观察所有题目中的操作，操作的结果都至少有一个桶是空的或者满的；

• 其次，对一个不满的桶加水是没有意义的。因为如果另一个桶是空的，那么这个操作的结果等价于直接从初始状态给这个桶加满水；而如果另一个桶是满的，那么这个操作的结果等价于从初始状态分别给两个桶加满；

• 再次，把一个不满的桶里面的水倒掉是没有意义的。因为如果另一个桶是空的，那么这个操作的结果等价于回到初始状态；而如果另一个桶是满的，那么这个操作的结果等价于从初始状态直接给另一个桶倒满。

因此，可以认为每次操作只会给水的总量带来 x 或者 y 的变化量。因此目标可以改写成：

找到一对整数 a, b，使得 (ax+by=z)。

而只要满足 (zleq x+y)，且这样的 a, b 存在，那么我们的目标就是可以达成的。这是因为：

• 若 (ageq 0, bgeq 0)，那么显然可以达成目标。

• 若 (alt 0)，那么可以进行以下操作：

  1. 往 y 壶倒水；
  2. 把 y 壶的水倒入 x 壶；
  3. 如果 y 壶不为空，那么 x 壶肯定是满的，把 x 壶倒空，然后再把 y 壶的水倒入 x 壶。

  重复以上操作直至某一步时 x 壶进行了 a 次倒空操作，y 壶进行了 b 次倒水操作。

• 若 (blt 0)，方法同上，x 与 y 互换。

而贝祖定理告诉我们，(ax+by=z) 有解当且仅当 z 是 x, y 的最大公约数的倍数。因此

只需要找到 x, y 的最大公约数并判断 z 是否是它的倍数即可。

另附：辗转相除法求最大公约数

辗转相除法是递归算法，一句话概括这个算法就是：两个整数的最大公约数，等于其中较小的数 和两数相除余数 的最大公约数。
比如 10 和 25，25 除以 10 商 2 余 5，那么 10 和 25 的最大公约数，等同于 10 和 5 的最大公约数。

代码实现：

class Solution {
    public boolean canMeasureWater(int x, int y, int z) {
        if (x + y < z) {
            return false;
        }
        if (x == 0 || y == 0) {
            return z == 0 || x + y == z;
        }
        // 裴蜀定理，又称贝祖定理
        return z % gcd(x, y) == 0;
    }
    // 辗转相除法求最大公约数
    private int gcd(int a, int b) {
        return (a % b == 0) ? b : gcd(b, a % b);
    }
}