学习笔记--简化剩余系与欧拉函数φ( )

什么是简化剩余系？

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所有(0<n<=m,(n,m)=1)的n构成了模m的简化剩余系，简称缩系

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记这样n的个数为$ phi(m)$

相关性质

• 如果((m,m')=1),(a)取遍模(m)缩系,(a')取遍m'缩系
  那么(am'+a'm)取遍(mm')缩系
  - (Prove: 已知(a,m)=1,(a',m')=1 , (m,m')=1)
  ((am',m)=1,(a'm,m')=1)
  ((am'+a'm,m)=1,(a'm+am',m')=1) //加上另一个数的若干倍仍互质
  ((am'+a'm,mm')=1)
  - 所以如果((n,m)=1,phi(nm)=phi(n)*phi(m))

• • $phi(p^e)=(p-1)*p{e-1}=p^e*(1-1/p) $ p是质数
    • (Prove: [1,p^e]中与p不互质的数的个数为p^e/p=p^{e-1})
      (phi(p^e)=p^e-p^{e-1} =p^e*(1-1/p))
    • 特殊地,若(p)是一个质数,则(phi(p)=p-1)

什么是欧拉函数

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在数论，对正整数(n)，欧拉函数是小于或等于(n)的数中与(n)互质的数的数目。欧拉函数用希腊字母(phi())或(phi()) （念fai去声）表示，(phi(n))表示正整数n的欧拉函数。

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举个栗子：([1,12])中与(12)互质的有(1,5,7,11)。
(别忘了，(a)与(b)互质表示(gcd(a,b)=1)，故1也算)
所以(phi(12)=4)。

很显然这个(phi(m))就是上文简化剩余系中所提到的

欧拉函数的计算

由上文简化剩余系的性质可知

计算公式:(phi(p)= prod phi(p_i^{c_i}) = prod (p^c_i * (1-1/p_i)) = n* prod (1-1/p_i))

计算方式

直接按照定义

int euler_phi(int n){
	int m=(int)sqrt(n+0.5);
	int ans=n;
	for(register int i=2;i<=m;i++)
		if(n%i==0)
		{//最好要先除后乘，防止结果溢出
		  ans=ans/i*(i-1);   //上文推导得 
		  while(n%i==0)n=n/i;//将n中所有因子i筛去 
		                   //确保下一个i是n的质因子 
		}
	if(n>1)ans=ans/n*(n-1);//防止n为最后一个质因子 
	return ans;
}

例题： hdu 1787裸欧拉函数简单变式

有没有(O(N))预处理出一张欧拉函数表的方法呢？当然有,在欧拉筛的基础上稍加改动即可，想要看懂代码请您先熟练欧拉筛

这是一个欧拉筛

void Euler_Prime() 
{ 
  memset(is_Prime,1,sizeof(is_Prime));
  memset(pri,0,sizeof(pri)); 
  is_Prime[0]=0;
  is_Prime[1]=0;//特判
   for(register int i=2;i<=n;i++) { 
      if(is_Prime[i]) 
        pri[tot++]=i;   //----1
      for(register int j=0; j<tot && i*pri[j]<=n;j++){ 
         is_Prime[i*pri[j]]=0; 
         if(i%pri[j]==0) break; //-----2
         //-----3
      } 
   }  
} 

使用欧拉筛时无非在代码中(1,2,3)处三种情况:

（话说第二条的证明找了挺久，好多人都直接略过，感觉我真的太菜了

1. 判定(i)是一个质数,根据上文性质(phi(i)=i-1)

2. 在2处,(phi(i*pri[j])=phi(i)*pri[j])

   (Prove:)设(x=pri[j]*i),易知此时(i)包含(pri[j])这个质因子,即(i)的质因子与(x)的相同,根据欧拉函数的直接计算方式,

   (phi(x)=x* prod (1-1/p_i)=pri[j]*i* prod (1-1/p_i)= pri[j]*phi(i))

3. 在3处,易知(i)与(pri[j])互质,根据欧拉函数性质(也是积性函数性质)

   (phi(x) = phi(i)*phi(pri[j]) = phi(i) *(pri[j]-1))

然后就可以看懂代码了

inline void get_phitable(){
	bool is_pri[maxn];
	int num[1000005],tot=0,tmp;
	memset(is_pri,0,sizeof(is_pri));
	is_pri[1]=1;
	phi[1]=1;
	for(ri i=2;i<=maxn;i++){
	    //printf("%d
",i);
		if(!is_pri[i]){
			num[++tot]=i;
			phi[i]=i-1;
		}
		for(ri j=1;j<=tot;j++){
			tmp=num[j]*i;
			if(tmp>=maxn)break;
			is_pri[tmp]=1;
			if(i%num[j]==0){
				phi[tmp]=num[j]*phi[i];
				break;
			}
			else {
				phi[tmp]=(num[j]-1)*phi[i];
			}
		}
	}
	return ;
}

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