快速幂与快速乘法

 

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Knowledge

快速幂

原理

a^b%p
采用二进制得思想，将b转化为二进制数。
b = c0×2^0+c1×2^1+c2×2^2+c3×2^3+……cn×2^n
a^b = a^(a1×2^0)×a^(c1×2^1)×……×a^(cn×2^n)
所以我们可以在log(b)的时间内求出a^(2^0)，a^(2^1)……a^(2^n)同时c也可得到，故复杂度O(log(b))
eg.a^11
11的二进制是1011
11 = 2³×1 + 2²×0 + 2¹×1 + 2º×1

code

int quick_pow(int a,int b,int p){
    int w=1;
    while(b){
        if(b&1)w=(w*a)%p;
        b>>=1;a=(a*a)%p;
    }
    return w;
}

快速乘法

原理

a*b%p
与快速幂类似
a*b=a*(c0×2^0+c1×2^1+c2×2^2+c3×2^3+……cn×2^n)
在log(b)的时间内可以求出a*2^i

code

int quick_mul(int a,int b,int p){
    int w=0;
    while(b){
        if(b&1)w=(w+a)%p;
        b>>=1;a=(a+a)%p;
    }
    return w;
}