NOI2012 骑行川藏 解题报告

　　当我还没看别人的解题报告时，我用了三分法做了40%的数据。

　　围观大神的解题报告，要通过100%的数据要用到拉格朗日乘数法求得最值。

　　Wiki上的解释是这样的：Wikipedia

　　Wiki的解释我自己看不太懂，下面这个视频可能让你能对拉格朗日乘数法有更好的认识：麻省理工学院《拉格朗日乘数法》

　　下面介绍一下拉格朗日乘数法是如何工作的：

　　问题：在g(x1, x2, x3, ..., xn) = c的约束条件下，求f(x1, x2, x3, ..., xn)的最值。

　　我们把问题具体化一下：令g(x, y) = xy = 3，f(x, y) = x² + y² ，求f(x, y)的最小值。

　　我们可以猜到，f(x, y)的最小值是6。

　　因为f(x, y)取得最值时受到g(x, y)条件的约束，那么f(x, y)的法向量应当与g(x, y)的法向量相平行。

　　于是我们得到下面的方程组：

　　f_x = λg_x  ==> 2x = λy

　　f_y = λg_y  ==> 2y = λx

　　g = 3      ==> xy = 3

　　解得λ = ±2 ，代入方程组解得 (x, y) = (3^1/2, 3^1/2) 或 (x, y) = (-3^1/2, -3^1/2)

　　如果你还看得不太明白，那么推荐你看看上面的那段视频。

　　显然到了现在，你就应该明白这道题是怎么回事了。

　　f(v1, v2, v3, ..., vn) = ∑ s_i / v_i 

　　g(v1, v2, v3, ..., vn) = ∑ k_is_i(v_i-v_i')²

　　我们有n+1个方程组：

　　-s₁ / v₁² = 2λk₁s₁(v₁-v₁')

　　-s₂ / v₂² = 2λk₂s₂(v₂-v₂')

　　...

　　-s_n / v_n² = 2λk_ns_n(v_n-v_n')

　　g = E

　　下面，我们先二分λ的值，再根据上面n个方程依次二分计算出v1, v2, ..., vn的值，代到g(v1, v2, ..., vn)函数中比较g与E的大小，缩小 λ 的范围。

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>

#define N 10001

using namespace std;

int n;
double E, s[N], k[N], vp[N], v[N], maxv[N], lamada, ans;

double getVi(int i, double lam)
{
    double left = vp[i], right = maxv[i], mid;
    while (right - left >= 1e-13)
    {
        mid = (left + right) / (double)2;
        if (mid == right || mid == left) break;
        if (mid * mid * 2 * lam * k[i] * (mid - vp[i]) + 1 > 0) left = mid;
        else right = mid;
    }
    return left;
}

double balance()
{
    double pans = -E;
    for (int i=1;i<=n;i++)
        pans += s[i] * k[i] * (v[i] - vp[i]) * (v[i] - vp[i]);
    return pans;
}

double getlamada(double left, double right)
{
    double mid;
    while (right - left >= 1e-13)
    {
        mid = (left + right) / (double)2;
        if (mid == right || mid == left) break;
        for (int i=1;i<=n;i++) v[i] = getVi(i, mid);
        double ban = balance();
        if (ban > 0) right = mid;
        else left = mid;
    }
    return left;
}

int main()
{
    freopen("bicycling.in","r",stdin);
    freopen("bicycling.out","w",stdout);
    scanf("%d%lf",&n,&E);
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%lf%lf%lf",&s[i],&k[i],&vp[i]);
        maxv[i] = vp[i] + sqrtl(E / s[i] / k[i]);
    }
    lamada = getlamada(-1000, -1e-13);
    ans = 0;
    for (int i=1;i<=n;i++)
        ans += s[i] / v[i];
    printf("%.8lf
", ans);
    return 0;
}