注意到前3个操作都不会影响每列的情况，而第4个操作必然会将行列交换，故只要每行的和相同即可满足条件。
考虑数位DP，设$f[i][j][k][t]$表示考虑最高的$i$位，第一行的和是$j$，当前行的和是$k$，与$R$的大小关系为$t$的数字个数。
需要特判$|R|=1$以及$|R|$不是完全平方数的情况。
#include<cstdio>
int n,m,s,a[20],i,j,k,x,t,nx;long long R,f[20][40][40][2],ans;
int main(){
scanf("%lld",&R);
if(R<10)return printf("%lld",R+1),0;
while(R)a[n++]=R%10,R/=10;
if(n!=4&&n!=9&&n!=16)return puts("0"),0;
for(m=1;m*m<n;m++);
s=m*9;
for(i=1;i<=a[n-1];i++)f[n-1][0][i][i==a[n-1]]++;
for(i=n-1;i;i--)for(j=0;j<=s;j++)for(k=0;k<=s;k++)for(x=0;x<2;x++)if(f[i][j][k][x])
for(t=0;t<10;t++){
if(x&&t>a[i-1])continue;
nx=x&&t==a[i-1];
if(i%m)f[i-1][j][k+t][nx]+=f[i][j][k][x];
else if(i/m==(n-1)/m)f[i-1][k][t][nx]+=f[i][j][k][x];
else if(j==k)f[i-1][j][t][nx]+=f[i][j][k][x];
}
for(j=0;j<=s;j++)for(x=0;x<2;x++)ans+=f[0][j][j][x];
return printf("%lld",ans),0;
}