【学习】Nim博弈

忽然发现博弈论是个很好玩的东西哎

之前假期学长讲课的时候就发现这种必胜的战略可以用来坑人做题

这两天终于做了第一道博弈论的题，写篇博客纪念一下

灵感来源：洛谷P1247

Pre-scene

众所周知，李明和Jenny都喜欢Danny，为了争夺Danny的所有权，他们决定玩一个游戏。规则是这样的：

有k堆扑克牌（不成套），两人轮流从某一堆中拿出x张牌，不能不拿，也不能跨堆拿牌，拿走最后一张(堆)牌的一方获胜。

命运当然是不公平的，李明来向你请教有没有必胜的方法，你聪明的，能告诉他么

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0X10  知识

先来了解一下，什么是Nim博弈

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通常的Nim游戏的定义是这样的：有若干堆石子，每堆石子的数量都是有限的，合法的移动是“选择一堆石子并拿走若干颗（不能不拿）”，如果轮到某个人时所有的石子堆都已经被拿空了，则判负（因为他此刻没有任何合法的移动）。

                                                                                                                  　　　　　　　　　　　　  ——百度百科 

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了解Nim游戏之后，我们会发现这是一个经典的ICG游戏（不要问我什么是ICG因为我百度百科也不知道）

显然游戏有两种局面，先手必败和先手必胜，我们分别定义他们为P-position和N-position两种，其中P代表Previous，N代表Next，那么我们可以得出，从N-position转移而来的一定是P-position，反之也成立。

0X20  简单的证明

我们先来手玩一组小数据，一共有2堆石子，每一堆都有3个，你是先手的话，会怎么拿？由规则我们知道，玩家的目标是拿走最后一个石子，所以先手的你一定不会把某一堆全部拿走，因为如果这样，后手将会拿走另一堆，先手必败；但是如果你先拿1个，后手会跟着你从另一堆也拿一个，你拿2个，后手仍可以做和你一样的操作，先手必败。至此我们发现，（3，3）是一个P-position的局面。

推论：1.当a1^a2^a3^……a^n=0时，为P-position，即先手必败。

         2.当a1^a2^a3^……a^n!=0时，一定存在某个移动，使得局面变成一个P-position，即此局面为N-position。

0X30  实现

直接异或运算即可，代码过于简单就不放了。

0X40  题解

传送门

了解了上述知识后，这道题几乎就是一个裸的板子了，就是加了一个输出怎么取和取完的状态而已，这也很好实现。

0X41  怎么取

由于我们发现异或和不等于0，我们就要考虑怎么取使得其等于0了。

设k=a1^a2^a3^……a^n，因为k!=0，而显然k^k=0，所以要使a1^a2^a3^……a(n-1)^an^k=0，只需要把其中一个ai变成ai^k即可，又因必须要取，可得ai^k<ai

0X42  取完的状态

直接更改即可

0X43  代码

//
//  main.cpp
//  Luogu
//
//  Created by gengyf on 2019/5/16.
//  Copyright © 2019 yifan Geng. All rights reserved.
//

#include <cstdio>
int n;
int a[500005];
int main(){
    scanf("%d",&n);
    int check=0;
    for(int i=1; i<=n; i++){
        scanf("%d",&a[i]);
        check^=a[i];
    }
    if(!check){
        printf("lose
");
        return 0;
    }
    for(int i=1; i<=n; i++){
        if((check^a[i])<a[i]){
            printf("%d %d
",a[i]-(check^a[i]),i);
            for(int j=1; j<=n; j++)
                if(j!=i)
                    printf("%d ",a[j]);
                else    printf("%d ",check^a[i]);
            break;
        }
    }
    return 0;
}