二维偏序-最长上升子序列的两种求解方式

给出一个题目背景，题源：洛谷P1020
二维偏序跟多理解可以参考博文

题目描述

某国为了防御敌国的导弹袭击，发展出一种导弹拦截系统。但是这种导弹拦截系统有一个缺陷：虽然它的第一发炮弹能够到达任意的高度，但是以后每一发炮弹都不能高于前一发的高度。某天，雷达捕捉到敌国的导弹来袭。由于该系统还在试用阶段，所以只有一套系统，因此有可能不能拦截所有的导弹。

输入导弹依次飞来的高度（雷达给出的高度数据是(le 50000)的正整数），计算这套系统最多能拦截多少导弹，如果要拦截所有导弹最少要配备多少套这种导弹拦截系统。

输入格式

11行，若干个整数（个数(le 100000)）

输出格式

22行，每行一个整数，第一个数字表示这套系统最多能拦截多少导弹，第二个数字表示如果要拦截所有导弹最少要配备多少套这种导弹拦截系统。

题解：

结论：这题只需要求一个不上升序列长度和一个上升序列长度。
说明：前者十分好理解，对于后者，这里这样考虑：因为每套导弹系统可以拦截一个不升序的序列，那么最长上升子序列一定是最少的导弹系统的个数（这个应该好理解），而使用最长上升序列的每一个值，作为开始拦截的高度，可以满足全部拦截，故得出开始的结论。（不算严谨的证明，但是比较好理解）

1.动态规划解法：

复杂度：(n*log(n))，常见的最长上升子序列算法，当然(n^2)的解法更容易理解，但这种解法也很常见了。
对于求不升序列，把原数组倒序，reverse即可，然后使之可以满足相等的条件。

#include <iostream>
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+10;
const int INF=0x3f3f3f3f;
int a[N];
int b[N];
int dp[N];
int n=0;
int get_max1(){
    int res=0;
        for(int i=0;i<n;i++){
            dp[i]=1;
            for(int j=0;j<i;j++){
                if(a[i]<=a[j]){
                    dp[i]=max(dp[j]+1,dp[i]);
                }
            }
            res=max(res,dp[i]);
        }
    return res;
}
int get_max2(){
    for(int i=0;i<n;i++)b[i]=a[n-1-i];
    fill(dp,dp+n,INF);
    for(int i=0;i<=n;i++){
        *upper_bound(dp,dp+n,b[i])=b[i];
    }
    return upper_bound(dp,dp+n,INF-1)-dp;
}
int get_len2(){
    fill(dp,dp+n,INF);
    for(int i=0;i<n;i++){
        *lower_bound(dp,dp+n,a[i])=a[i];
    }
    return lower_bound(dp,dp+n,INF)-dp;
}
int main()
{
    while(cin>>a[n]){
        n++;
    }
    cout<<get_max2()<<endl;

    cout<<get_len2()<<endl;

    return 0;
}

2.树状数组：

常规用法，维护最大值。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN=5e4+10;
const int N=1e5+10;
int a[N];
int b[N];
int bit[MAXN];
int MAX;
int lowbit(int x){
    return x&(-x);
}
int sum(int x){
    int ans=0;
    while(x>0){
        ans=max(ans,bit[x]);
        x-=lowbit(x);
    }
    return ans;
}
//更新包含x的全部区间的最大值
int update(int x,int v){
    while(x<=MAX+1){//一定是MAX+1
        bit[x]=max(bit[x],v);
        x+=lowbit(x);
    }
}
int main()
{
    int cur=0;
    while(~scanf("%d",&a[cur])){
        MAX = max(MAX,a[cur]);
        cur++;
    }
    int ans=0;
    int res=0;//最长上升子序列
    for(int i=0;i<cur;i++){
        ans=sum(a[i])+1;
        update(a[i]+1,ans);
        res=max(res,ans);
    }
    memset(bit,0,sizeof(bit));
    reverse(a,a+cur);
    //for(int i=0;i<cur;i++)cout<<a[i]<<"  "<<endl;
    int res1=0;//最长不升子序列
    ans=0;
    for(int i=0;i<cur;i++){
        ans=sum(a[i]+1)+1;//因为可以相等，sum(x)查询的是小于x的答案
        update(a[i]+1,ans);
        res1=max(ans,res1);
    }
    printf("%d
%d
",res1,res);


    return 0;
}