正定矩阵和半正定矩阵

在众多的机器学习模型中，线性代数的身影无处不在，当然，我们也会时常碰到线性代数中的正定矩阵和半正定矩阵。例如，多元正态分布的协方差矩阵要求是半正定的。

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1. 基本的定义

正定和半正定这两个词的英文分别是positive definite和positive semi-definite，其中，definite是一个形容词，表示“明确的、确定的”等意思。

初学线性代数的读者可能会被这两个词“唬住”，但正定矩阵和半正定矩阵的定义实际上是很简单的 (不考虑复数构成的矩阵)：

【定义1】给定一个大小为 的实对称矩阵 ，若对于任意长度为 的非零向量 ，有 恒成立，则矩阵 是一个正定矩阵。

【例1】单位矩阵 是否是正定矩阵？

解：设向量 为非零向量，则

由于 ，故 恒成立，即单位矩阵 是正定矩阵。

单位矩阵是正定矩阵 (positive definite)。

【简单证明】对于任意单位矩阵 而言，给定任意非零向量 ，恒有

【例2】 实对称矩阵 是否是正定矩阵？

解：设向量 为非零向量，则

因此，矩阵 是正定矩阵。

【定义2】给定一个大小为 的实对称矩阵 ，若对于任意长度为 的向量 ，有 恒成立，则矩阵 是一个半正定矩阵。

根据正定矩阵和半正定矩阵的定义，我们也会发现：半正定矩阵包括了正定矩阵，与非负实数 (non-negative real number)和正实数 (positive real number)之间的关系很像。

图1 正实数与负实数，图片来源于https://en.wikipedia.org/wiki/Real_number

2. 从二次函数到正定/半正定矩阵

在初中数学中，我们学习了二次函数 ，该函数的曲线会经过坐标原点，当参数 时，曲线的“开口”向上，参数 时，曲线的“开口”向下。

以 为例，曲线如下：

图2 二次函数曲线

实际上，我们可以将 视作 的多维表达式。

当我们希望 对于任意向量 都恒成立，就要求矩阵 是一个半正定矩阵，对应于二次函数， 需要使得 .

另外，在 中，我们还知道：若 ，则对于任意 ，有 恒成立。

这在 也有契合之处，当矩阵 是正定矩阵时，对于任意 ， 恒成立。

3. 正定矩阵和半正定矩阵的直观解释

若给定任意一个正定矩阵 和一个非零向量 ，则两者相乘得到的向量 与向量 的夹角恒小于 . (等价于： .)

【例3】给定向量 ，对于单位矩阵 ，则

向量 之间的夹角为

即两个向量之间的夹角为0°.

【例4】给定向量 ，对于实对称矩阵 ，则

向量 之间的夹角为

即两个向量之间的夹角小于 .

若给定任意一个正定矩阵 和一个向量 ，则两者相乘得到的向量 与向量 的夹角恒小于或等于 . (等价于： .)

4. 为什么协方差矩阵要是半正定的？

在概率论与数理统计中，我们都学习的协方差矩阵的定义：

对于任意多元随机变量 ，协方差矩阵为

现给定任意一个向量 ，则

其中，

由于 ，因此， ，协方差矩阵 是半正定的。