题目： 给定一个整数数组int[] a (a.length > 1)，和一个整数值 m，试输出所有运算结果等于m的运算过程。可使用的运算方式只有加法和减法。数组元素最多参与一次运算。例如，给定数组【5,4,6,7,1】和整数9,输出运算结果为9的运算过程如下：
+5+4=9
+5+4+6-7+1=9
+5+4-6+7-1=9
+5-4+7+1=9
+4+6-1=9
-4+6+7=9
-5+6+7+1=9
这个题目，我们可以使用回溯算法得到所有的解。回溯法在问题的解空间树中，按深度优先策略，从根节点出发搜索解空间树。算法搜索至解空间树中的任一节点时，先判断该节点是否包含问题的解。如果不包含，则跳过对已该结点为根的子数的搜索，逐层向其祖先结点回溯。否则，进入该子树，继续按深度优先策略搜索。回溯法求问题所有解时，要回溯到根，且根结点的所有子树都已被搜索遍才结束。回溯法求问题的一个解时，只要搜索到问题的一个解就可结束。
回溯法通常包含3个步骤
- 针对所给问题，定义问题的解空间
- 确定易于搜索的解空间结构。常见的结构一般为n叉树结构，而且一般都是满n叉树。
- 以深度优先方式搜索解空间，并在搜索过程中使用剪枝函数避免无效搜索。深度优先策略可以选择先序遍历，中序遍历，和后序遍历。
对于给定的这个题目，我们首先要确定问题的解空间。由于如下的条件限定
- 运算过程只能使用加法和减法
- 数组元素最多参与一次运算
我们可以把数组元素的操作转换为 (x1 * +1 ) + (x2 * -1) + (x3 * 0) ....... = ? ，以题目为例, 很容易看出题目需要的解向量为 { (1,1,1,-1,1), (-1,0,1,1,1)..... } ,然后我们可以确定出解空间结构为一个3叉树，而且是一个满三叉树。三叉树深度是给定数组的长度加一，如题中数组长度为5，那么解空间结构的三叉树的深度为6。由于篇幅限制，这里只画了最左部分节点的结构。
最后，剩下的步骤就是遍历这颗三叉树，检查每个节点的结果是否符合要求。我们以根节点，左子树，中子树，和右子树的顺序进行深度优先遍历。那么以最左边树为例，其遍历的结果如上图所示，其中只有遍历到第三层时的加法运算组合满足要求 (5+4 = 9)，那么我们可以得到一个解向量，即 { (1,1,0,0,0) }。另外，符合要求的解，很有可能在叶子结点获得。例如(5+4+6-7+1=9)，对应的解向量为{ (1,1,1,-1,1 ) }。
代码如下
解空间数据结构的节点类
package com.csdn.blog.TechNerd.TraceBack;
/*
* 构造树节点，包含左子节点，中子节点，和右子节点的引用。以及该节点深度及数据信息。
*/
public class Node {
private Node _lnode;
private Node _rnode;
private Node _mnode;
private int _data;
private int _depth;
public Node(int data,int depth){
this._data = data;
this._depth = depth;
}
public void setLNode(Node lnode){
this._lnode = lnode;
}
public void setMNode(Node mnode){
this._mnode = mnode;
}
public void setRNode(Node rnode){
this._rnode = rnode;
}
public int getData(){
return this._data;
}
public int getDepth(){
return this._depth;
}
public Node getLNode(){
return this._lnode;
}
public Node getMNode(){
return this._mnode;
}
public Node getRNode(){
return this._rnode;
}
}
如下类为解空间数据结构，包含回溯算法的应用。
package com.csdn.blog.TechNerd.TraceBack;
public class TraceBackTree {
private Node _root;
private int _depth;
private int[] _a;
private int _m;
public TraceBackTree(Node root,int depth,int[] a,int m){
this._root = root;
this._depth = depth;
buildBTree();
this._a = a;
this._m = m;
}
/*
* 构建解空间数据结构，题目所需要的是一个满三叉树。
*/
private void buildBTree(){
this._root.setLNode(createNode(1,2));
this._root.setMNode(createNode(0,2));
this._root.setRNode(createNode(-1,2));
}
private Node createNode(int data,int depth){
if (depth <= this._depth){
Node n = new Node(data,depth);
n.setLNode(createNode(1,depth + 1));
n.setMNode(createNode(0,depth + 1));
n.setRNode(createNode(-1,depth +1));
return n;
}else{
return null;
}
}
/*
* 按照根节点，左子节点，中子节点，右子节点的顺序对数进行遍历，打印所有节点。
*/
public void preOrderTraverse(){
preOrderTraverse(this._root);
}
private void preOrderTraverse(Node n){
if (n != null){
printNode(n);
preOrderTraverse(n.getLNode());
preOrderTraverse(n.getMNode());
preOrderTraverse(n.getRNode());
}
}
private void printNode(Node n){
System.out.print(n.getData() + " ");
}
/*
*回溯法求所有解。
*/
public void backTrace(int[] a,int m){
int[] x = new int[this._depth - 1]; //定义存储解向量的数组。该数组长度与题目给定的数组长度相等。
backTrace(this._root,x);
}
private void backTrace(Node n,int[] x){
if (n.getDepth() > 1) x[n.getDepth() - 2] = n.getData(); //将节点值付给解向量数组。
if (constraints(x,n.getDepth() - 2)){
printSolution(x,n.getDepth() - 2);
}
if (n.getLNode() != null)
backTrace(n.getLNode(),x);
if (n.getMNode() != null)
backTrace(n.getMNode(),x);
if (n.getRNode() != null)
backTrace(n.getRNode(),x);
}
/*
* 检查目前解向量是否满足题目要求，就和等于指定值。
*/
private boolean constraints(int[] x,int boundary) {
int sum = 0;
for (int i=0;i<= boundary;i++){
sum += _a[i] * x[i];
}
return (sum == _m && x[boundary] != 0);
}
private void printSolution(int[] x,int boundary) {
for (int i =0;i<= boundary;i++){
if (x[i] == 1){
System.out.print("+"+ _a[i]);
}else if (x[i] == 0){
}else if (x[i] == -1){
System.out.print("-" + _a[i]);
}
}
System.out.println("=" + this._m);
}
public static void main(String[] args){
int[] a = {5,4,6,7,1};
int m = 9;
//创建的数的深度为给定数组的长度加一
TraceBackTree bt = new TraceBackTree(new Node(1,1),a.length + 1,a,m);
//按照根节点，左子节点，中子节点，右子节点的顺序对数进行遍历，打印所有节点。
// bt.preOrderTraverse();
bt.backTrace(a,m);
}
}