【ZJOI2020】抽卡

题目描述

(quad) 传送门

题解

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(quad) 开始之前，先给出两个定义。

(quad) 合法的定义：存在标号连续的 (k) 张牌。

(quad) 不合法的定义：不存在标号连续的 (k) 张牌。

非满分方法一 ： 期望得分 (70) 分

(quad) ( ext{Min-Max}) 容斥，都快烂大街了。这里就不讲了。

非满分方法二 ： 期望得分 (90) 分

(quad) 我们设 (f_{i}) 表示抽了 (i) 轮不合法的方案数目。

(quad) 可以得到：

[ans = sumlimits_{i=0}^{infty}frac{f_{i}}{m^{i}} = 1+sumlimits_{i=1}^{infty}frac{f_{i}}{m^{i}} ]

(quad) 考虑抽了 (i) 轮以后有 (R) 张卡，那么可以得到：

[f_{i} = mathcal T(i,R)mathcal P(R) ]

(quad) 其中 (mathcal T(i,R)) 代表抽了 (i) 轮抽到这 (R) 张卡的方案数目，(mathcal P(R)) 代表在 (m) 张卡中抽 (R) 张卡不合法的方案数目。

(mathcal T(i,R)) 的答案显然，即：

[mathcal T(i,R) = sumlimits_{t=0}^{R-1}(-1)^{t}{R choose t}(R-t)^{i} ]

(quad) 带入暴力求和可以发现最后是一个 ( ext{NTT}) 可以处理的形式，设那个部分 ( ext{NTT}) 的结果为 (mathcal H(i))，最后的答案为：

[ans = 1+sumlimits_{i=1}^{m}mathcal H(i)mathcal P(i) ]

(quad) 问题在于怎么求解 (mathcal P) ,我们把长度为 (m) 的段先成一段一段连续的部分，最后 ( ext{NTT}) 合并即可。

(quad) 我们不妨设当前段的长度为 (n)。考虑 (mathcal P(i)) 的 组合意义。就是把 (i) 个无标号的小球放入 (n-i+1) 有标号的盒子当中的方案数目。

[mathcal P(i) = sumlimits_{t=0}^{lfloor{frac{i}{k}} floor}(-1)^{t}{n-i-1 choose t}{n-tk choose i-tk} ]

(quad) 直接暴力计算，可以得到这个算法的瓶颈复杂度为 (mathcal O(dfrac{m^2}{k}+mlog_2^2m))。

满分做法一

(quad) 我们尝试考虑 一个连续段不合法方案 的生成函数：

[[x^{n-r+1}](sumlimits_{i=0}^{k-1}x^i)^r ]

(quad) 上面的式子的含义解释如下：我们选出一段卡牌，然后强制后一个不选，但是强制选出的卡牌又不能超过 (k) 个，然后我们枚举有 (r) 张卡牌强制不选，那么前面 ([x^{n-r+1}]) 的含义就是选出 (n-r+1) 张卡牌不合法的方案数。

(quad) 我们转换一下上面的式子：
特性它

[[x^{n+1}]left(xsumlimits_{i=0}^{k-1}x^i ight)^r ]

(quad) 我们令：

[G(x) = xsumlimits_{i=0}^{k-1}x^i =frac{x^{k+1}-x}{x-1} ]

(quad) 我们可以得到就是要求这个：

[[x^{n+1}]left(G(x) ight)^r ]

(quad) 我们考虑二元生成函数：

[H(u,G(x)) = frac{1}{1-uG(x)} ]

(quad) 我们提取 (H(u,x)) 的 (n+1) 项系数即可。 那么这么做为什么是对的呢？我们可以这么看：

[[x^{n+1}]H(u,G(x)) = [x^{n+1}]sumlimits_{r}u^r(G(x))^r ]

[=sumlimits_{r}[x^{n+1}](G(x))^ru^r ]

(quad) 我们发现，因为 (G) 的常数项系数为 (0) ，所以当 (r ge n+1) 的时候，([x^{n+1}](G(x))^r = 0),所以我们这么做是对的。

(quad) 那么虽然我们知道要提取系数，但是我们真的不知道要怎么处理。其实这个式子已经在暗示我们用拉格朗日反演了，因为它只要求某一项的系数。

(quad) 所以我们可以使用拓展拉格朗日反演，我们可以得到：

[[x^{n+1}]H(u,G(x)) = frac{1}{n+1}[x^n]frac{u}{(1-ux)^2} left(frac{x}{G^{-1}(x)} ight)^{n+1} ]

(quad) 其中 (G^{-1}(x)) 是 (G(x)) 的复合逆，我们可以用 (O(nlog_2n)) 的( ext{Newton}) 迭代解出。

(quad) 我们尝试把中间带 (u)这个打开，那么我们可以得到：

[[x^{n+1}]sumlimits_{r}u^r(G(x))^r=frac{1}{n+1}sumlimits_{r}[x^n](r+1)u^{r+1}x^rleft(frac{x}{G^{-1}(x)} ight)^{n+1} ]

(quad) 所以，我们现在直接比对两边的 (u) 的系数即可得到：((G(x))^r)

(quad) 特别注意,我们这里 ((G(x))^r) 的意义为：选出 (n-r+1) 张卡牌不合法的方案数。所以最后一定要反转系数！

满分做法二

(quad) 我不会这个奇怪的组合意义...如果未来是水平到了这个地步我会来填坑的...

(quad) 答案的生成函数为：

[f = sumlimits_{uge 0}(-x^k)^{u}(1+x)^{n-(k+1)u}{n-ku choose u}+sumlimits_{u ge 1}(-x^{k})^{u}(1+x)^{n-(k+1)u+1}{n-ku choose u} ]

(quad) 可以直接采用分治 ( ext{NTT}) 解决。

满分做法三

(quad) 深入分析 ( ext{Min-Max}) 容斥，可以将其复杂度优化至 (mathcal O(dfrac{m^2}{k^2})) 。然后可以发掘 (mathcal H) 的一个 (mathcal O(mlog_2^2m)) 的做法，可以避免牛顿迭代。但是我不会，以后有空补上...