动态规划入门_数塔问题

在讲述DP算法的时候，一个经典的例子就是数塔问题，它是这样描述的： 

有如下所示的数塔，要求从顶层走到底层，若每一步只能走到相邻的结点，则经过的结点的数字之和最大是多少？ 
 
已经告诉你了，这是个DP的题目，你能AC吗?

Input输入数据首先包括一个整数C,表示测试实例的个数，每个测试实例的第一行是一个整数N(1 <= N <= 100)，表示数塔的高度，接下来用N行数字表示数塔，其中第i行有个i个整数，且所有的整数均在区间[0,99]内。 
Output对于每个测试实例，输出可能得到的最大和，每个实例的输出占一行。 
Sample Input

1
5
7
3 8
8 1 0 
2 7 4 4
4 5 2 6 5

Sample Output

30

(下面这段讲解从别人博客  复制的，地址:https://blog.csdn.net/hpu2022/article/details/81487979）

我们知道，从定点开始每次只有两个方向，左下和右下，要想知道如何走才能得到最大值，我们只需要知道它的两个子节点的如何走才能得到最大值，相同的情况我们又可以问它的子节点的子节点，这样重复下去一直都爱最后一行。

故最后的状态转移方程式   dp[i][j] = num[i][j] + max(dp[i+1][j], dp[i+1][j+1]); 注意这是倒推的，就好像我们只有知道了地 i+1个才能知道第i个。仔细想一想为什么递推完成后dp[1][1]就是最大值呢？（从循环条件中找答案）

Java实现代码:

import java.util.Scanner;

public class Main {

    public static void main(String[] args) {
        Scanner cin = new Scanner(System.in);
        int n = cin.nextInt();
        
        for(int index= 0;index<n;index++)
        {
            int [][] data = new int [110][110];
            int [][] dp = new int [110][110];
            
            int h = cin.nextInt();
            
            for(int i =1;i<=h;i++){
                for(int j = 1;j<=i;j++){
                    data[i][j] = cin.nextInt();
                }
            }
            
            for(int i = 1;i<=h;i++){
                dp[h][i] = data[h][i];
            }
            
            
            for(int i = h-1;i>=1;i--){
                for(int j = 1;j<=i;j++){
                    
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i+1][j],dp[i+1][j+1])+data[i][j];
                }
            }
            
            System.out.println(dp[1][1]);
        }
    }
}

总结递归方程   dp [ i ][ j ] = max(dp [ i+1] [ j ], dp[ i+1 ] [ j +1 ] + data [ i ] [ j ];