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  • 动态规划之编辑距离问题

    问题描述:

    对于序列S和T, 它们之间的距离定义为: 对二者其一进行几次以下操作: 1, 删除一个字符; 2, 插入一个字符; 3, 改变一个字符. 每进行一次操作, 计数增加1. 将S和T变为相等序列的最小计数就是两者的编辑距离(edit distance)或者叫相似度. 请给出相应算法及其实现. 

    分析:

    假设序列S和T的长度分别为m和n, 两者的编辑距离表示为edit[m][n]. 则对序列进行操作时存在以下几种情况:

    • a, 当S和T的末尾字符相等时, 对末尾字符不需要进行上述定义操作中(亦即"编辑")的任何一个, 也就是不需要增加计数. 则满足条件: edit[m][n] = edit[m - 1][n - 1].
    • b, 当S和T的末尾字符不相等时, 则需要对两者之一的末尾进行编辑, 相应的计数会增加1.
    • b1, 对S或T的末尾进行修改, 以使之与T或S相等, 则此时edit[m][n] = edit[m - 1][n - 1] + 1;
    • b2, 删除S末尾的元素, 使S与T相等, 则此时edit[m][n] = edit[m - 1][n] + 1;
    • b3, 删除T末尾的元素, 使T与S相等, 则此时edit[m][n] = edit[m][n - 1] + 1;
    • b4, 在S的末尾添加T的尾元素, 使S和T相等, 则此时S的长度变为m+1, 但是此时S和T的末尾元素已经相等, 只需要比较S的前m个元素与T的前n-1个元素, 所以满足edit[m][n] = edit[m][n - 1] + 1;
    • b5, 在T的末尾添加S的尾元素, 使T和S相等, 此时的情况跟b4相同, 满足edit[m][n] = edit[m - 1][n] + 1;
    • c, 比较特殊的情况是, 当S为空时, edit[0][n] = n; 而当T为空时, edit[m][0] = m; 这个很好理解, 例如对于序列""和"abc", 则两者的最少操作为3, 即序列""进行3次插入操作, 或者序列"abc"进行3次删除操作.

    所以, 以上我们不难推出编辑距离的动态规划方程为:

    , 其中

    所以, 字符串编辑距离的动态规划算法的递归实现可以用如下的Java代码表示:

     1     public static int editDistance(String a, String b) {
     2         if (a == null || b == null) {
     3             return -1;
     4         }
     5         return editDistance(a, a.length() - 1, b, b.length() - 1);
     6     }
     7 
     8     public static int editDistance(String a, int m, String b, int n) {
     9         if (m < 0 || n < 0) {
    10             return 1;
    11         } else if (a.charAt(m) == b.charAt(n)) {
    12             return editDistance(a, m - 1, b, n - 1);
    13         } else {
    14             return Math.min(Math.min(editDistance(a, m - 1, b, n) + 1, editDistance(a, m, b, n - 1) + 1), editDistance(a, m - 1, b, n - 1) + 1);
    15         }
    16     }

    UPDATE:

    同时, 由编辑距离的动态规划方程我们可以看出, edit[m][n]可以由edit[m - 1][n - 1], edit[m - 1][n], edit[m][n - 1]得出, 而如果edit是一个二维数组的话, edit[m][n]可以由它的上, 左, 左上三个位置的元素通过条件判断得出. 亦即我们可以通过遍历二维数组, 然后通过回溯来计算当前值.

    例如对于字符串S = "sailn"和T = "failing", 对二维数组进行初始化为:

    m   f a i l i n g
      0 1 2 3 4 5 6 7
    s 1 1            
    a 2              
    i 3              
    l 4              
    n 5              

    因为S[0] = s, T[0] = f, 则S[0] != T[0], 则对应于上述二维矩阵, edit[1][1] = min(edit[0][0], edit[0][1], edit[1][0]) + 1即edit[1][1] = min(0, 1, 1) + 1即edit[1][1] = 0 + 1 = 1. 

    m   f a i l i n g
      0 1 2 3 4 5 6 7
    s 1 1 2 3 4 5 6 7
    a 2 2 1          
    i 3              
    l 4              
    n 5              

    而对于S[1] = a, T[1] = a, S[1] = T[1], 则对应于二维矩阵, edit[2][2] = edit[1][1], 所以edit[2][2] = 1. 所以按照这种规则, 将上述二维矩阵填满则如下:

    m   f a i l i n g
      0 1 2 3 4 5 6 7
    s 1 1 2 3 4 5 6 7
    a 2 2 1 2 3 4 5 6
    i 3 3 2 1 2 3 4 5
    l 4 4 3 2 1 2 3 4
    n 5 5 4 3 2 2 2 3

    所以, 两者的编辑距离为edit[m][n] = edit[5][7] = 3.

    所以, 按照上述思路即动态规划的回溯解法的Java版本可以如下进行:

     1     public static int editDistance(String a, String b) {
     2         if (a == null || b == null) {
     3             return -1;
     4         }
     5         int[][] matrix = new int[a.length() + 1][b.length() + 1];
     6         for (int i = 0; i < a.length() + 1; i++) {
     7             for (int j = 0; j < b.length() + 1; j++) {
     8                 if (i == 0) {
     9                     matrix[i][j] = j;
    10                 } else if (j == 0) {
    11                     matrix[i][j] = i;
    12                 } else {
    13                     if (a.charAt(i - 1) == b.charAt(j - 1)) {
    14                         matrix[i][j] = matrix[i - 1][j - 1];
    15                     } else {
    16                         matrix[i][j] = 1 + Math.min(Math.min(matrix[i - 1][j], matrix[i][j - 1]), matrix[i - 1][j - 1]);
    17                     }
    18                 }
    19             }
    20         }
    21         return matrix[a.length()][b.length()];
    22     }
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