P1447 [NOI2010]能量采集

题目描述

栋栋有一块长方形的地，他在地上种了一种能量植物，这种植物可以采集太阳光的能量。在这些植物采集能量后，栋栋再使用一个能量汇集机器把这些植物采集到的能量汇集到一起。

栋栋的植物种得非常整齐，一共有n列，每列有m棵，植物的横竖间距都一样，因此对于每一棵植物，栋栋可以用一个坐标(x, y)来表示，其中x的范围是1至n，表示是在第x列，y的范围是1至m，表示是在第x列的第y棵。

由于能量汇集机器较大，不便移动，栋栋将它放在了一个角上，坐标正好是(0, 0)。

能量汇集机器在汇集的过程中有一定的能量损失。如果一棵植物与能量汇集机器连接而成的线段上有k棵植物，则能 量的损失为2k + 1。例如，当能量汇集机器收集坐标为(2, 4)的植物时，由于连接线段上存在一棵植物(1, 2)，会产生3的能量损失。注意，如果一棵植物与能量汇集机器连接的线段上没有植物，则能量损失为1。现在要计算总的能量损失。

下面给出了一个能量采集的例子，其中n = 5，m = 4，一共有20棵植物，在每棵植物上标明了能量汇集机器收集它的能量时产生的能量损失。

在这个例子中，总共产生了36的能量损失。

输入输出格式

输入格式：

仅包含一行，为两个整数n和m。

输出格式：

仅包含一个整数，表示总共产生的能量损失。

输入输出样例

输入样例#1： 复制

5 4

输出样例#1： 复制

36

输入样例#2： 复制

3 4

输出样例#2： 复制

20

说明

对于10%的数据：1 ≤ n, m ≤ 10；
对于50%的数据：1 ≤ n, m ≤ 100；
对于80%的数据：1 ≤ n, m ≤ 1000；
对于90%的数据：1 ≤ n, m ≤ 10,000；
对于100%的数据：1 ≤ n, m ≤ 100,000。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

int gcd(int x,int y)
{
    return !y?x:gcd(y,x%y);
}

int n, m, ans;
int main()
{
    scanf("%d %d",&n, &m);
    for(int i = 1; i <= n; ++ i)
    {
        for(int j = 1; j <=m; ++ j)
        {
            ans += 2 * gcd(i, j) - 1;
        }
    }
    printf("%d", ans);
    return 0;
}

//Pro:P1447 [NOI2010]能量采集

//首先要思考的问题就是(x,y)与(0,0)之间有多少个点？ 
//显然(x,y)在(t*x,t*y)的前面
//所以(x,y)前面一定也会有(t*X,t*Y)
//如果gcd(X,Y)=1，那么t=gcd(x,y)
//所以(x,y)前面一共gcd(x,y)个点(包括(x,y))
//那么就可以得到一个暴力算法：
//for(int i = 1; i <= n; ++ i)
//    {
//        for(int j = 1; j <=m; ++ j)
//        {
//            ans += 2 * gcd(i, j) - 1;
//        }
//    } 
//这样80分T两个点

//所以现在我们要改进这个做法
//一个点一个点地去枚举是O(n*m)的，这显然不太明智
//那么我们考虑去枚举(x,y)的gcd g
//可以知道n里有n/g个数的因子里有g，m里有m/g个 
//这些数随机组合成坐标，一共有(n/g)*(m/g)种
//但是这是以g为公因子的，不是以g为最大公因子的
//所以我们要把那些以g的倍数为最大公因子的筛掉（容斥）
//开一个数组f[i]记录以i为gcd的坐标的个数 
//那么f[i]=(n/g)*(m/g)-f[i的倍数]
//然后让ans+=f[i]*(i*2-1) 

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int N=1e5+5;

int n,m;
long long f[N],ans;
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    if(n>m)
        swap(n,m);
    for(int i=n;i;--i)
    {
        f[i]=(1ll*n/i)*(m/i);
        for(int j=2;j*i<=n;++j)
            f[i]-=f[i*j];
        ans+=f[i]*1ll*(i*2-1);
    }
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}