P2389 电脑班的裁员

题意：长度为n的序列，选出k个连续的字段，使和最大（有负数）

暴力只选正数且不考虑k的边界问题50（数据。。。）

正解从$O(n^3)到O(n)$不等，（$O(n)$不会）

DP

1、$O(n^3)$

以f[i][j]代表前i个数，选j段的最大ans

当前数不选：f[i-1][j]

当前数选：f[l][j-1]+s[i]-s[l]（s为前缀和）

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cctype>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define int long long
#define olinr return
#define _ 0
#define love_nmr 0
#define DB double
inline int read()
{
    int x=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch))
    {
        if(ch=='-')
            f=-f;
        ch=getchar();
    }
    while(isdigit(ch))
    {
        x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);
        ch=getchar();
    }
    return x*f;
}
inline void put(int x)
{
    if(x<0)
    {
        x=-x;
        putchar('-');
    }
    if(x>9)
        put(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
int a[505];
int n;
int s[505];
int k;
int tot;
int f[505][505];
signed main()
{
    n=read();
    k=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)
        s[i]=s[i-1]+(a[i]=read());
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=k;j++)
        { 
            f[i][j]=f[i-1][j];
            for(int l=0;l<i;l++)
            {
                f[i][j]=max(f[i][j],f[l][j-1]+s[i]-s[l]);
            }
        }
    }
    put(f[n][k]);
    olinr ~~(0^_^0)+love_nmr;
}

2、$O(n^2)$优化(1)

对于f[l][j-1]-s[l]的最大值可以一边DP一边处理出来

这样就减少了一维的枚举

注意要先枚举j，这样才能处理出

因为l<i，所以在枚举i的时候可以处理出（1---i-1，j）的最大值，直接转移

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cctype>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define int long long
#define olinr return
#define _ 0
#define love_nmr 0
#define DB double
inline int read()
{
    int x=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch))
    {
        if(ch=='-')
            f=-f;
        ch=getchar();
    }
    while(isdigit(ch))
    {
        x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);
        ch=getchar();
    }
    return x*f;
}
inline void put(int x)
{
    if(x<0)
    {
        x=-x;
        putchar('-');
    }
    if(x>9)
        put(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
int a[505];
int n;
int s[505];
int k;
int tot;
int f[505][505];
signed main()
{
    n=read();
    k=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)
        s[i]=s[i-1]+(a[i]=read());
    for(int j=1;j<=k;j++)
    {
        int maxn=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        { 
            f[i][j]=max(f[i-1][j],maxn+s[i]);   
            maxn=max(maxn,f[i][j-1]-s[i]);
        }
    }
    put(f[n][k]);
    olinr ~~(0^_^0)+love_nmr;
}

3、$O(n^2),空间O(n)$

以f[i][j]代表前i个分成j段，第i个可以不选的ans

以g[i][j]代表前i个分成j段，第j个必须选的ans

g[i][j]=max(g[i-1][j],f[i-1][j-1])+a[i]

f[i][j]=max(f[i-1][j],g[i][j])

显然第一维可以滚动掉（类似01背包倒着枚举）

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cctype>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define int long long
#define olinr return
#define _ 0
#define love_nmr 0
#define DB double
inline int read()
{
    int x=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch))
    {
        if(ch=='-')
            f=-f;
        ch=getchar();
    }
    while(isdigit(ch))
    {
        x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);
        ch=getchar();
    }
    return x*f;
}
inline void put(int x)
{
    if(x<0)
    {
        x=-x;
        putchar('-');
    }
    if(x>9)
        put(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
int a[505];
int n;
int k;
int tot;
int g[505];
int f[505];
signed main()
{
    n=read();
    k=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)
        a[i]=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=k;j>=1;j--)
        {
            g[j]=max(g[j],f[j-1])+a[i];
            f[j]=max(f[j],g[j]);
        }
    put(f[k]);
    olinr ~~(0^_^0)+love_nmr;
}