【STSRM12】夏令营（分治决策单调+主席树）

【题意】n个数字分成k段，每一段的价值是段内不同数字的个数，求最大价值。n<=35000,k<=50。

【算法】分治决策单调+主席树（可持久化线段树）

【题解】

f[i][j]表示前i天分成j段的最大价值。

f[i][j]=max(f[k][j-1]+work(k+1,i))，j-1<=k<i。

首先打表发现有决策单调性（把j提到第一维）。

然后有经典写法：主席树维护区间不同数字个数。

那么根据决策单调性进行分治，在每次l,r（mid=l+r>>1）从L,R中转移时，用主席树求R~mid，然后从右到左每个位置若nex>mid则sum++，统计答案。

这样每个分治区域使用一次主席树，共有至多4*n次分治（类比线段树节点数），这样主席树的复杂度和分治并列，复杂度可以满足。

复杂度O(k*n log n+4*n log n)。

主席树空间注意不要自信预估……开大两倍。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cctype>
using namespace std;
const int maxn=35010,maxk=60;
int f[2][maxn],sz,tot,root[maxn],nex[maxn],last[maxn],x,n,kind,a[maxn],b[maxn],c[maxn];
struct tree{int l,r,sum;}t[600010];

inline int min(int a,int b){return a<b?a:b;}
inline int max(int a,int b){return a>b?a:b;}
int read()
{
    char c;int s=0,t=1;
    while(!isdigit(c=getchar()))if(c=='-')t=-1;
    do{s=s*10+c-'0';}while(isdigit(c=getchar()));
    return s*t;
}
void build(int l,int r,int &x,int y,int c){
    x=++sz;
    t[x]=t[y];t[x].sum++;
    if(l==r)return;
    int mid=(l+r)>>1;
    if(c<=mid)build(l,mid,t[x].l,t[y].l,c);
    else build(mid+1,r,t[x].r,t[y].r,c);
}
int ask(int l,int r,int x,int c){
    if(x==0)return 0;
    if(r<=c)return t[x].sum;
    int mid=(l+r)>>1,ans=0;
    if(c>mid)ans+=ask(mid+1,r,t[x].r,c);
    ans+=ask(l,mid,t[x].l,c);
    return ans;
}    
int calc(int l,int r)
{return ask(0,n,root[r],l-1)-ask(0,n,root[l-1],l-1);}
void find(int l,int r,int L,int R){
    if(l>r||L>R)return;
    int mid=(l+r)>>1,sum=calc(min(R+1,mid),mid);
    int wh=0;
    for(int i=min(R,mid-1);i>=L;i--){
        if(f[x][mid]<f[1-x][i]+sum){
            f[x][mid]=f[1-x][i]+sum;
            wh=i;
        }
        if(nex[i]>mid)sum++;
    }
    find(l,mid-1,L,wh);
    find(mid+1,r,wh,R);
}
int main(){
    n=read();kind=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=read(),b[i]=a[i];
    sort(b+1,b+n+1);tot=n;
    tot=unique(b+1,b+tot+1)-b-1;
    for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=lower_bound(b+1,b+tot+1,a[i])-b;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        last[i]=c[a[i]];
        c[a[i]]=i;
    }
    memset(c,0,sizeof(c));
    for(int i=n;i>=1;i--){
        nex[i]=c[a[i]]==0?n+1:c[a[i]];
        c[a[i]]=i;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)build(0,n,root[i],root[i-1],last[i]);
    x=0;
    memset(f[x],-1,sizeof(f[x]));
    f[x][0]=0;
    for(int j=1;j<=kind;j++){
        x=1-x;
        memset(f[x],-1,sizeof(f[x]));
        find(0,n,0,n);
    }
    printf("%d",f[x][n]);
    return 0;
}

另一种写法：线段树

DP的瓶颈主要在于work(k+1,i)部分，否则就可以线段树查询max了。

对于已有的k~i-1，加入新的数字i（i上一次出现的位置为p），只有左端点p+1及之后的点才会+1，这就是个区间加操作。

那么每次区间加和区间查，j作为第一维换的时候重建树。